阅读与思考 向量及向量符号的由来教学实录与评析

平面向量的数量积及运算律教学设计

吕兰

一、教学目标

1、通过经历探究过程，理解向量数量积的概念及其物理意义；了解数量积的几何意义，掌握向量数量积的性质及运算律．

2、通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。

3、通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知以及合作交流的学习品质．

二、教学过程设计

一、情景创设：

问题1：我们已经学过了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

二学生活动（探究）

在物理学中学过功的概念，一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=FScosθ。

问题2：物理学中功是如何定义的？

思考：

①W是什么量？F和S是什么量？和向量有什么关系？

②由功的概念，给我们启示，能否把功看成是两个向量的一种运算结果呢？

三．新课学习

问题3：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？学生讨论，教师引导：舍去物理原型，抽取其中的数量关系你知道向量数量积是如何定义的吗？（阅读课本，找出定义的特点）

1.向量数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即

F θ

S

ab|a||b|cos．

规定，零向量与任一向量的数量积是0．

abb定义：||cos

叫做向量在方向上的投影

2.几何意义：“投影”的概念：作图

思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？

钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当

= 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为

|b|

aaa几何意义：数量积b等于的长度与b在方向上投影|b|cos投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为问题4：你知道两个向量的夹角如何定义吗？（下图中两向量的夹角分别是什么？）

b

O θ

a

A B B b

O θ

实际授课时，学生可以得到：

向量的夹角：

a

A 已知两个向量a和b（如图），作OAa，OBb，则

AOB（0180）叫做向量a与b的夹角。

a

B （这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点）

当0时，a与b同向；

当180时，a与b反向；

O



Ab当90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab．

aaa

 b b b 乘积

教师要和学生一起分析概念，并引导学生注意以下两点: ①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.

②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量. 教师要和学生一起分析概念，并引导学生注意以下两点: ①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量. 问题5：根据你对向量数量积的理解，试判断下列说法是否正确：

aa（1）若 = 0，则对任一向量b，有b = 0 aa（2）若



0，则对任一非零向量b，有b

 0 aa（3）若



0，b = 0，则b =0 aa（4）若b = 0，则

、b至少有一个为零 问题6：尝试解决课本例1，并思考数量积有哪些性质。（完成课本例1后归纳数量积的性质）

实际授课时学生得到：

3.数量积的性质：

设a、b都是非零向量，是a与b的夹角，则

①当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|；

2aa|a|特别地：或|a|aa；

②abab0；（两非零向量垂直的依据）

4.探究数量积的运算律

学生已经掌握数量积的概念和性质，教师此时可进一步有效地训练其思维，发展其能力。可以指导学生在解决下面例题后进行合作交流和互动讨论推导出数量积的运算律。

已知正ABC的边长为2，设BCa，CAb，ABc，

求（1）ab， ba

（2a）b， a（2b） （2）， 2ab

bc)

（3）abac

， a（思考：在此题的运算过程中，你能得到向量数量积有哪些运算律

吗？你能给出证明吗？

（本题讲解后，归纳出数量积的运算律）

实际授课时学生得到：

数量积的运算律

设向量a,b,c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：

①abba（交换律）

（a）ba(b)(ab)ab（结合律）

②（ab)cacbc（分配律）

③bc)(ab)c是否一定成立？（运算律①②可由学生给出思考：a（证明，③证明不做要求，但学生要会运用它们进行运算和化简）

（可让学生独立完成此题）已知向量a与b的夹角为60，a4,b2，求

（1）(ab)(ab)

2(ab) （2）

（3）吗？

ab

思考：在此题的运算过程中，你发现了什么结论？你能给出证明5.矫正反馈：

acb1、已知，，是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：

aac（1）若b = ，则b = c； abab（2）若，则ab； ababa（3）若，则b. a4,b6a0a(ab)

ab 2、已知，与b的夹角为60，求：（1）（2）(a3b). （3）(2ab)abab3、求证：交流。

课堂小结

. 4、你在解决上述问题过程中有疑问吗？有问题与请与同学或老师（1）先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、性质，数量积的运算律.

（2）教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解. 6、作业