2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案

一、教学目标

1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；

2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

二、教学重难点

重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；

难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。

三、教具 多媒体课件

四、教学过程设计

一、复习回顾 问题情境

【回顾】平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．



一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

【问题】

在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

二、理解概念 加深认识

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○结合定义，指导学生求出向量i、j、0的坐标。（多媒体演示）

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。

在坐标系中观察，向量i,j及OA的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。

类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。

三、自主探索，推导法则

探究一：(1)已知

a(x1,y1),b(x2,y2),求

ab,ab的坐标; (2)已知a(x,y)和实数,求a

的坐标.

请学生自己讨论推导，教师归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：

（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

ab(x1x2,y1y2)（其中a(x1,y1),b(x2,y2)）

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若a(x,y)，则a(x,y)；

探究二：若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？



先来看一个具体的例子：求出图中的向量a的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？（引导学生从特殊到一般，归纳猜想）

1 学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标。再将A,B的坐标推广到一般的(x1,y1),(x2,y2)，可得相应结论。

由此，得到一个重要的结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

四、应用举例，加深理解

例1、如图，用基底ib、c、d

，并求出它们的坐标。

、j分别表示向量a、例2 、已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标。

例3、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、

（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。