探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计及教案分析

[学习目标]

1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．

知识点一

φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．

知识点二

ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的

图象的影响

如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标1缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．

ω

知识点三

A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象

的影响

如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

π思考

由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(2x＋)的图象？

3

π答案

方法一

(先相位变换，再周期变换)先将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得函3ππ数y＝sin(x＋)的图象；再将函数y＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来331π的倍，得y＝sin(2x＋)的图象．

23方法二

(先周期变换，再相位变换)先将f(x)＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为1原来的倍，得函数f(2x)＝sin 2x的图象，再将函数f(2x)＝sin 2x的图象上各点沿x轴向左平2ππππ移个单位长度，得f[2(x＋)]＝sin [2(x＋)]的图象，即函数y＝sin(2x＋)的图象．

6663

题型一

相位变换的应用

π2x＋的图象，只要将y＝sin 2x的图象(

) 例1

要得到函数y＝sin3πA．向左平移个单位

3πC．向左平移个单位

6答案

C πππ2x＋＝sin [2x＋]，所以把y＝sin 2x的图象上所有点向左平移个单解析

因为y＝sin366ππx＋]＝sin2x＋的图象．

位，就得到y＝sin [236反思与感悟

已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：

①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．

φ②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为ω. ③明确平移的方向．

π2x－的图象，只要将y＝sin 2x的图象(

) 跟踪训练1

要得到y＝cos4πA．向左平移个单位

8πC．向左平移个单位

4答案

A ππ－2x＝cos2x－

解析

y＝sin 2x＝cos22πB．向右平移个单位

8πD．向右平移个单位

4πB．向右平移个单位

3πD．向右平移个单位

6x－π＝cos2x－π－π. ＝cos2844

ππx－－，

若设f(x)＝sin 2x＝cos 284πππx＋＝cos2x－，∴向左平移个单位．

则f488题型二

周期

、相应变换的应用

π例2

把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上31所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(

) 2π2x－，x∈R

A．y＝sin3π2x＋，x∈R

C．y＝sin3答案

C π解析

把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝3π1x＋的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin32π2x＋的图象．

sin3反思与感悟

三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x的系数不是1，需把x的系数先提出，提出后括号中的x加或减的那个数才是平移的量，即x的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．

11π跟踪训练2

要得到y＝sin(－x)的图象，只需将y＝sin(－x－)的图象(

) 226πA．向左平移个单位

3πB．向右平移个单位

3πC．向左平移个单位

6πD．向右平移个单位

6答案

B 1π解析

因为y＝sin(－x－) 261π1ππ1＝sin[－(x＋)]，所以需将y＝sin(－x－)的图象向右平移个单位才可得y＝sin(－x)的图232632象．

题型三

图象变换的综合应用

xπB．y＝sin2＋6，x∈R

2π2x＋，x∈R

D．y＝sin3

π例3

把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把61π2纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin2x＋3，求f(x)的解析式．

31π纵坐标伸长到原来的倍解

y＝2sin―――――――――――→

2x＋3―1π横坐标缩短到原来的倍x＋―y＝3sin―――――――――――――→

23π向左平移个单位x＋―y＝3sin―――――――――――→

3πππx＋＋＝3sinx＋＝3cos x. y＝3sin632∴f(x)＝3cos x. 反思与感悟

(1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．

(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．

π跟踪训练3

将函数y＝2sin(x＋)的图象向左移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函3数为偶函数，则m的最小值为(

) πππ5πA.

B.

C.

D.

12636答案

B π解析

因为函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝3ππππ2sin(x＋＋m)是偶函数，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z，又m>0，所以m3326π的最小值为，故选B. 6

相位和周期变换的对象混乱致误

ππ例4

将函数y＝sin(2x－)的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的341横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的函数的解析式．

2π错解1

将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝461232

ππ7π1sin(2x－－)＝sin(2x－)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应341227π的函数的解析式为y＝sin(4x－)．

12π错解2

将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝4ππ5π1sin[2(x－－)]＝sin[2(x－)]，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对641225π5ππ应的函数的解析式为y＝sin[4(x－)]＝sin(4x－)＝sin(4x＋)．

1233π错解3

将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝4ππ7π1sin(2x－－)＝sin(2x－)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应341227π7π5π的函数解析式为y＝sin[2(2x－)]＝sin(4x－)＝sin(4x＋)．

1266错因分析

以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象．错解1在进行平移变换时，错误地把2x看成了变换对象；错解2在进行伸缩变换时，错误地把2(x5π－)看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误．

12π正解

将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝4ππ5π1sin[2(x－－)]＝sin(2x－)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应64625π的函数的解析式为y＝sin(4x－)．

6点评

由y＝sin x的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象时，若先由y＝sin x的图象变换|φ|为y＝sin ωx的图象，再由y＝sin ωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象，则左右平移个ω单位长度，很多人都直接左右平移|φ|个单位长度，从而导致错误．

1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(

) 11A．2

B.

C．4

D.

24答案

B xπx＋的图象，只要将函数y＝sin 的图象(

) 2．要得到y＝sin232πA．向左平移个单位

3πB．向右平移个单位

3

2πC．向左平移个单位

3答案

C 2πD．向右平移个单位

3π13．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的32函数解析式为

．

π答案

y＝sin(2x＋) 31π4．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin2x＋3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移

个单位，后者需向左平移

个单位．

π2答案

π

33π5．将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式4为

．

答案

y＝－cos 2x

左移个单位x＋π，

解析

y＝sin(－2x)―――――――――――→y＝sin－244ππ－2x－＝－sin2x＋＝－cos 2x. 即y＝sin22

1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：

(1)y＝sin x――→y＝sin(x＋φ)――→

y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sin x――→y＝sin ωx――→

φ振幅变换y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)――→

ωy＝Asin(ωx＋φ)．

注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：

|φ|(1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)先周期变换后相位变换，平移个单位．这ω是很容易出错的地方，应特别注意．

类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．

2．一般地有以下结论：

周期变换相位变换振幅变换相位变换周期变换

(1)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象，当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．

(2)函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>11时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．

ω(3)函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

一、选择题

1．函数y＝3sin(π2x＋π4)的振幅和周期分别为(

) A．3,4

B．3，π2

C.π2，4

D.π2，3 答案

A 解析

由于函数y＝3sin(ππ2x＋4)，

∴振幅是3，周期是T＝2ππ＝4. 22．为了得到函数y＝sin2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(

A．向右平移π6个单位长度

B．向右平移π3个单位长度

C．向左平移π6个单位长度

D．向左平移π3个单位长度

答案

B 解析

y＝sin2x－π6＝cosπ2－2x－π6

＝cos2π2π3－2x＝cos2x－3＝cos [2x－π3]．

3．为得到函数y＝cos(x＋π3)的图象，只需将函数y＝sin x的图象(

) A．向左平移π6个单位长度

)

πB．向右平移个单位长度

65πC．向左平移个单位长度

65πD．向右平移个单位长度

6答案

C ππ2x－的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(

) 4．把函数y＝sin48A．非奇非偶函数

B．既是奇函数又是偶函数

C．奇函数

D．偶函数

答案

D π5．要得到函数y＝3sin(2x－)的图象，可以将函数y＝3sin 2x的图象(

) 4πA．向左平移个单位长度

8πB．向右平移个单位长度

8πC．向左平移个单位长度

4πD．向右平移个单位长度

4答案

B πππ解析

因为y＝3sin(2x－)＝3sin[2(x－)]．所以将函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位488π长度，可得到函数y＝3sin(2x－)的图象，故选B. 4ππ2x－的图象，只需把函数y＝sin2x＋的图象(

) 6．为了得到函数y＝sin36πA．向左平移个单位长度

4πC．向左平移个单位长度

2答案

B π向右平移个单位长度解析

y＝sin(2x＋)―――――――――――→

6πππy＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)．

4634πB．向右平移个单位长度

4πD．向右平移个单位长度

2

二、填空题

7．函数y＝sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f(x)＝

. 答案

sin x

8．为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是

．

3答案

π

2πππ解析

y＝sin x＝cos(－x)＝cos(x－)向右平移φ个单位后得y＝cos(x－φ－)，

222ππ∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，

223∴φ的最小正值是π.

29．某同学给出了以下论断：

π①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；

2②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；

③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；

ππ2x＋的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．

④函数y＝sin33其中正确的结论是

(将所有正确结论的序号都填上)．

答案

①③

π10．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的6最小值为

．

答案

5π

12πππ解析

平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

662kπ∴φ＝－π－(k∈Z)，又∵φ>0，

2125π∴当k＝－1时，φ的最小值为. 12三、解答题

π2x－的图象，试叙述这一过程．

11．怎样由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin3π2x－的图象有两种变化途径：

解

由y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin3

向右平移x－π

π①y＝sin x――――――→y＝sin个单位33π纵坐标不变1y＝sin2x－. ―――――――――→3横坐标缩短为原来的21

②y＝sin x―――――――――→横坐标缩短为原来的2向右平移2x－π. π―y＝sin 2x――――――→y＝sin3个单位6纵坐标不变112．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其2π图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的表达式．

6解

方法一

正向变换

1→y＝f(2x)―πy＝f(x)――――――――→

原来的平移个单位26横坐标缩小到沿x轴向左x＋π，即y＝f2x＋π，

y＝f236π2x＋＝sin 2x. ∴f3ππ令2x＋＝t，则2x＝t－，

33ππt－，即f(x)＝sinx－. ∴f(t)＝sin33方法二

逆向变换

沿x轴向右x－π

π据题意，y＝sin 2x――――――→y＝sin2平移个单位66π＝sin(2x－) 3横坐标伸长到原来的2倍x－π. ――――――――――→y＝sin纵坐标不变3π13．已知函数f(x)＝sin3－2x

(x∈R).

(1)求f(x)的单调减区间；

(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．

π2x－π的2x－.欲求函数的单调递减区间，解

(1)由已知函数化为y＝－sin只需求y＝sin33单调递增区间．

πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋

(k∈Z)，

232π5解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，

1212

π5kπ－，kπ＋π

(k∈Z)．

∴原函数的单调减区间为1212πππ－2x＝cos－3－2x

(2)f(x)＝sin32ππ2x＋＝cos 2x＋. ＝cos612∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，

π∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．

12