探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学评价实录

第一章第四节三角函数的图象与性质第一课时

整体设计

教学分析

研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．

由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．另外，教科书通过“旁白”，指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．

由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．

三维目标

1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．

2．通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．

3．通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦．渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观．

重点难点

教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．

教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．

思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验．教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．

有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．

1

推进新课

新知探究

提出问题

问题①：作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长或用有向线段数值表示x角的三角函数值？怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢？简单地说，就是如何得到y＝sinx，x∈[0，2π]的精确图象呢？

问题②：如何得到y＝sinx，x∈R时的图象？

活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，对于学习较弱的学生，教师指导他们查阅课本上的正弦线．此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，就很容易得到y＝sinx，x∈R时的图象了．

对问题①，第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等分，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O1上的各分点ππππ作x轴的垂线，就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线，这样就解6432决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来，我们就得到函数y＝sinx在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察怎样平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．

图1 对问题②，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0上的图象与函数y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性) 图2 讨论结果：①利用正弦线，通过等分单位圆及平移即可得到y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．

②左、右平移，每次2π个长度单位即可．

提出问题

如何画出余弦函数y＝cosx，x∈R的图象？你能从正弦函数与余弦函数的关系出发，利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗？

活动：如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了，根据已学的知识，教师引导学生观察诱导公式，思考探究两个函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．

π讨论结果：把正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数2图象．如图3.

2

图3 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

提出问题

问题①：以上方法作图，虽然精确，但不太实用，自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点？

问题②：你能确定余弦函数图象的关键点，并作出它在[0，2π]上的图象吗？

活动：对问题①，教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y＝sinx在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：

π3π(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

22因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．

对问题②，引导学生通过类比，很容易确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，并指导学生通过描这五个点作出在[0,2π]上的图象．

讨论结果：①略．

π3π②关键点也有五个，它们是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

22

应用示例

思路1 例1画出下列函数的简图

(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．

活动：本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图，并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，“五点法”画图易学却难掌握，学生需练好扎实的基本功．可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中指导一一纠正，这对以后学***有好处．

解：(1)按五个关键点列表：

π3πx 0

π

2π

22sinx 0

1

0

－1

0

0 1 1＋sinx 1

2

1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图4)．

图4 (2)按五个关键点列表：

x cosx

0

1

π

20

π

－1

3π

20

2π

1 3

－cosx －1

0

1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图5)．

0

－1

图5 点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．完成本例后，让学生阅读教材上本例下面的“思考”，并回答如何通过图象变换得出要画的图象，让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法. 变式训练

π在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝2cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．

4解：列表取点如下：

π3π5π7πx 0

π

8888πππ3π9ππ

2x＋

2π

44224f(x)

1

0

0

1 －2

2

π描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图7所示．

4

图6 图7 思路2 例1画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．

活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．让学生尝试寻找在[0，ππ]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(，1)，(π，0)．然后2列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以一一纠正．

解：按三个关键点列表：

πx 0

π

2

4

sinx 0

1

y＝|sinx|

0

1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图8)．

0 0 图8 点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系，也为下一步将要学习的周期埋下伏笔. 变式训练

1．方程sinx＝的根的个数为( ) 10A．7 B．8 C．9 D．10 解析：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y＝的图象与y＝sinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题10的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点．

xx图9 答案：A 2．用五点法作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是( ) π3πππ3πA．0，，π，，2π B．0，，，，π

22424πππ2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，

6323答案：B

知能训练

课本本节练习

解答：

1．可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例π3π如函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，可以通过将函数y＝cosx，x∈[－，]的图象向22π右平行移动个单位长度而得到(图10)．

2

图10 点评：在同一个直角坐标系中画出两个函数图象，利于对它们进行对比，可以加强正弦函数与余弦函数的联系．通过多种方法画图，渗透数形结合思想，强化学生对数学概念本质的认识．

2．两个函数的图象相同．

点评：先用“五点法”画出余弦函数的图象，再通过对比函数解析式发现另一函数的图

5

象的变化规律，最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图11)．

图11

课堂小结

以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．

1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？

2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．

作业

1．课本习题1.4 A组1. 2．预习下一节：正弦函数、余弦函数的性质．

设计感想

1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．

2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．

3．本小节设置的“探究”“思考”较多，还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目．教学时，应留给学生一定的时间思考、探究这些问题．

备课资料

一、备用习题

x1．方程2＝cosx的解的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无穷多个

答案：D 2．如图12中的曲线对应的函数解析式是( )

图12 A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx| 答案：C 二、潮汐与港口水深

我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．

由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：

6

0

3

6

9

12

15

18

21

24 5

7.5

5

2.5

5

7.5

5

2.5

5 (1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所π示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sint，t∈[0,24)6来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图16)．

t d 图16 由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．

(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．

不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．

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