2.1.2 向量的几何表示优秀教学设计

第五章

平面向量

第一节 平面向量的概念及线性运算

【课前小测摸底细】

1.【课本典型习题】如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝(

)

A．0

C．AD

【答案】D

【解析】(1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝CE，

∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.

B．BE

D．CF

2.【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（

）

A.AD1414ABAC B.ADABAC 3333C.AD4141ABAC D.ADABAC 33331411BCAC(ACAB)=ABAC，故选A. 3333【答案】A 【解析】由题知ADACCDAC3.

【【百强校】2016届海南省海南中学高三考前模拟十二】如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F

是BC的一个三等分点，那么EF等于（ ）

A．1111ABAD B．ABAD

2342

C．1112ABDA D．ABAD

3223【答案】D

4.【基础经典试题】给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

＝0 (为实数)，则必为零．

③a其中错误的命题的个数为(

) A．1 C．3 【答案】B

【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．

B．2 D．0 ＝0. ③错误，当a＝0时，不论为何值，a故选B.

5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则＝________.

【答案】2

【解析】因为O为AC的中点，

所以，即＝2.

【考点深度剖析】

平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．

【经典例题精析】

考点1

向量的有关概念

【1-1】给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为(

) A．1

B．2 C．3

【答案】C

D．4

【课本回眸】

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

【方法规律技巧】

(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

(2)几个重要结论

①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

【新题变式探究】

【变式一】给出下列命题：

①a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a//b；

②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

④若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

⑥任一向量与它的相反向量不相等．

其中真命题的序号是________．

【答案】⑤

【综合点评】

涉及平面向量的概念的题目，往往难度不大，准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法，同时注意结合图形细致分析. 考点2 平面向量的线性运算

【2-1】【湖南省四大名校2016届高三3月联考】

在平行四边形ABCD中,AC

与BD交于点O,E是线段OD的中点AE的延长线与CD交于点F.若ACa,BDb,则AF（ ）

A．11112112ab B．ab C．ab D．ab

42243323【答案】C 【解析】

1AB(ab)ABADa2由向量的平行四边形法则可得,解之得.又因为DE:EB1:3所以AD1(ab)ADABb2DF:AB1:3,即DF1121AB(ab),所以AFADDFab,故应选C.

3633【课本回眸】

一．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律：

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

a＋b＝b＋a

；

(2)结合律：

(a＋b)+c＝a +(b＋c)

平行四边形法则

求a与b的相反向量减法

－b的和的运算叫做a与b的差

二．向量的数乘运算及其几何意义[来源:Zxxk.Com][来源:Z&xx&k.Com]

三角形法则

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①a＝a；②(＋)a＝

a＋

a；③(a＋b)＝a＋b.[来源学科网ZXXK]

【方法规律技巧】

1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

【新题变式探究】

→→→→→→11【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝BC，CN＝CD，OA＝a，OB＝b，用a、b表示33

→→→OM、ON、MN.

【答案】OM=152211a＋b,

ONa＋b，MN＝a－b. 666332

【综合点评】

1.在熟练运用三角形法则、平行四边形法则的基础上，找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解是解题的常用技巧和方法．.[来源:Z+xx+k.Com]

2.求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系数．

考点3 共线向量

【3-1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝1CA＋λCB，则λ等于(

) 3

A.

2

3

B.

13[来源:Z*xx*k.Com]

C．－1

3D．－2

3【答案】A

【课本回眸】

共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【方法规律技巧】

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

【新题变式探究】

【变式一】已知P是△ABC所在平面内的一点，若CBPAPB，其中λ∈R，则点P一定在(

)

A．△ABC的内部

C．AB边所在直线上

【答案】B

【解析】由CBPAPB得CBPBPA，∴CPPA.则CP,PA为共线向量，又CP,PA有一个

B．AC边所在直线上

D．BC边所在直线上

C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B. 公共点P，【综合点评】

1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；

b不共线，则a+b0的充要条件是0；这一结论是解决求参数问题的重要依据；

2.若a,3.若ABAC，则A,B,C三点共线.

【易错试题常警惕】

易错典例：

下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则a与b同向或反向；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．

易错分析：概念理解不清致误．

正确解析：正解：若|a|＝0，则a＝0，故①错误；|a|＝|b|只说明a与b的模相等，它们的方向不能确定，故②错误；若a∥b且a，b为非零向量时，a与b的方向相同或相反，当其中一个向量为零向量时，另一个向量的方向任意．故③错误；④正确．所以正确命题的序号为④. 答案：④

温馨提醒：(1)易忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误．

(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|＝|b|误推出a＝±b等．

(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．

【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.

【典例】【【百强校】2016届河南省禹州市名校高三三模】如图所示，已知OA1,OB3,OAOB0，点C在线段AB上，且AOC30，设OCmOAnOBm,nR，则mn等于（ ）

A．1111 B． C． D．

3223【答案】B 【解析】

依题意可知OCAB,且AC131,BC,故OCOAACOAAB

2231311OAOBOAOAOB,mn. 4442选B.

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