探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质主要内容及教案内容

§1.4.2正弦函数余弦函数的单调性

【教材分析】

《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续深入，本节课是在学习了正余弦函数的定义域，值域，周期性，奇偶性等性质之后再根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的单调性。

【教学目标】

1. 学生会根据图像观察得出正弦函数、余弦函数的单调性

2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．

3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．

【教学重点难点】

教学重点：正弦函数和余弦函数的单调性。

教学难点：应用正、余弦的单调性来解决具体问题。

【学情分析】

知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。前几节课对正余弦函数的定义域，值域，周期性，奇偶性等性质的学习为本节课做了一定的基础知识铺垫。

心理特征：高一文科重点班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不够深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结

【课前准备】

1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的单调性”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复

习导入、展示目标。

（一）问题情境

复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？

生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点

引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？

生：定义域、值域、周期性、对称性、单调性等

提出本节课学习目标——正弦函数和余弦函数的单调性

（二）探索研究

给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并完成正余弦函数性质对比与总结表：

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R(或(,)). 2.值域

(1)值域

因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以|sinx|1,|cosx|1, 即1sinx1,1cosx1

也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[1,1]. (2)最值

正弦函数ysinx,xR

①当且仅当x22k,kZ时,取得最大值1

2余弦函数ycosx,xR

②当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1

①当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1

②当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1

3.周期性

由sin(x2k)sinx,cos(x2k)cosx,(kZ)知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时, 都有f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知,2,4,,2,4,,2k(kZ,k0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kkZ,k0都是它的周期,最小正周期是2. 4.奇偶性

由sin(x)sinx,cos(x)cosx

可知:ysinx(xR)为奇函数,其图象关于原点O对称

ycosx(xR)为偶函数,其图象关于y轴对称

5.对称性

正弦函数ysinx(xR)的对称中心是k,0kZ, 对称轴是直线xk2kZ; 余弦函数ycosx(xR)的对称中心是k对称轴是直线xkkZ

,0kZ, 2(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点). 三，学习新知，由浅入深

正余弦函数的单调性

从ysinx,x[当x[,]的图象上可看出: 22,]时,曲线逐渐上升,sinx的值由1增大到1

22当x[,]时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到1

22结合之前学过的正余弦函数周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[22到1;在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是减函数,其值从1减小到1. 22同理：余弦函数在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是增函数,其值从1增加到1;余弦函数在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是减函数,其值从1减小到1. 四、例题分析

例1、请写出y2sinx单调增区间和减区间

解析：sin前的-2改变了函数值y的大小，所以增区间为[减区间为[2k,2k](kZ)上都是增函数,其值从1增大2k,2k](kZ)

2222k,22k](kZ)

例2：求函数y=sin(2x+)的单调增区间．

解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．

3，函数y=sinz的单调增区间为[2k，2k]．

2235k≤x≤k

由

2k≤2x+≤2k得

22121235k，

k

]（ｋ∈Ｚ）

故函数y=sinz的单调增区间为

[1212解：令z=2x+点评：“整体思想”解题

变式训练1.

求函数y=sin(-2x+解：令z=-2x+故函数sin(-2x+)的单调增区间

3，函数y=sinz的单调减区间为[322k，32k]

2)的单调增区间为[ 3例3. 比较sin2500、sin2600的大小

7k，k

]（ｋ∈Ｚ）．

1212解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小

解：∵y=sinx在[32k，2k]（k∈Z），上是单调减函数，

22

又

2500<2600

∴

sin2500>sin2600

点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单

调区间，运用单调性即可，若比较复杂，

先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．

变式训练3. cos解：cos1514、cos

891514cos

89由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

课堂小结：

1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题

2、数学思想方法：数形结合、整体思想。

六、板书设计