探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案和学案内容

§1.4正弦函数和余弦的函数图像与性质（第一课时）

江孜高级中学 罗萨次仁

【教材分析】

《正弦函数和余弦的函数图像与性质（第一课时）》是沪教版高中一年级第二学期内容，之前，学生已经学习了函数的概念及性质，正弦函数和余弦的函数图像与性质是三角函数图像与性质的入门课，为今后学习正切函数的图像与性质、函数yAsin(wx)的图像起到了承上启下的作用。

本节共分四个课时，本课为第一课时，主要学习正弦函数和余弦的函数图像与性质（第一课时）

【学情分析】

学生已经学习了任意角三角比、三角恒等式，其中包含了诱导公式和三角函数线的意义，这为学生理解正弦函数图像的画法奠定了知识基础。

【教学目标】

1、理解正弦函数、余弦函数的概念；

2、学生经历利用正弦线作正弦函数图像的过程，理解用正弦线作正弦函数图像的方法，感知 正弦曲线的特征；

3、经历并理解余弦函数图像的作法，感知余弦曲线的特征；

4、掌握“五点法”作出正弦函数、余弦函数图像；

5、渗透由抽象到具体的思想，学生理解动与静的辩证关系，体会数形结合的数学思想方法。

【教学重点难点】

教学重点：用“五点法”画ysinx,x[0,2]，ycosx，x0,2图像。

教学难点：运用正弦线画正弦函数图象。

【教学过程】

一、新课探究

（一）、正弦函数和余弦函数概念

1、复习回顾，导入新课

师:回顾三角函数线的相关知识——如何做正弦线? 生：建立坐标系,以原点为圆心做单位圆，与角终边交于点P，过点P做PM垂直于x轴于点M，则有向线段MP叫正弦线，有向线段OM叫余弦线。

师：任意给定一个实数x，对应的正弦值sinx是否存在？唯一？

生：存在，唯一。

2、正余弦函数定义

通常我们用弧度制来表示角，记为x（实数x，rad

）表示自变量，用y表示函数值。于是：正弦函数为：ysinx 余弦函数为：ycosx

由三角函数的定义，它们的定义域是实数集R

（二）、正弦函数图像的作法

师：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？

答：列表、描点、连线。

师:在列表的时候，我们一般在定义域内任意取一些自变量的值，然后计算出相对应的函数值.但是，对于正弦函数来说，它具有“周而复始”的变化规律，根据诱导公式一—终边相同的角同名三角函数值相等，我们总可以把任意角的三角函数化成[0,2]内的三角函数来研究，因此，我们先来研究ysinx,x[0,2]的图象。教师引导学生列表。

师：描点法作出的图象是否精确？有什么弊端？

生：当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置。

师:（进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？

生：把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来。

师：问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。在前面已经学习过三角函数线——三角函数线从“形”的角度刻画了三角函数值的大小，能否利用三角函数线作正弦函数图象呢？

[设计意图：比较自然，合理的问题，符合学生认知的基本规律。] 思考：如何在直角坐标系中作出点P(,sin)

33O1

π3P

yπ,sin)

A(π

33.探究：能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系

中作出正弦函数ysinx,x[0,2]的图象呢？

π

M

O

323πx师:多媒体演示利用正弦线作正弦函ysinx,x[0,2]的图象，边演示，边讲解，并不时的

提问学生，与学生交流。

y

-1-

P11

- p1o1M1-1

oM16

762433253116232356x[设计意图：通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点。]

利用正弦线作出比较精确的正弦函数ysinx,x[0,2]图像步骤：

第一步：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆O1，把⊙O1分成十二等分；

2等角，作出相应的正弦线；

第二步：十二等分后得0，，，，…，632第三步：将x轴上从0到2一段分成12等份(26.28)；

第四步：取点，把各角的正弦线向右平移，使起点与x轴上的对应的点重合，从而得到12条正弦线的12个终点；

第五步：用光滑曲线把上述正弦线的终点依次从左至右连接起来，得ysinx,x[0,2]的图象；

[设计意图：注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。] 师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0,2]上的图象.如何由ysinx,x[0,2]的图象得到ysinx,xR的图象？

生：因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysinx在x2k,2(k1)，kZ，k0的图象与函数ysinx,x[0,2]，的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数ysinx，xR的图象，即正弦曲线。

6πy1

4π2o-1

2π46x

[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和积极思考勇于探索的能力。] （三）、余弦函数的图像作法

问题：如何作出ycosx的图象

师：利用正弦曲线如何适当的图形变换得到余弦函数的图象？

由诱导公式六，ycosxsin(向左平移

4π2x)，所以，可以通过将正弦函数ysinx,xR的图象个单位长度而得到。

2y1

2

（四）、用“五点法”作图

-1

o2π4x

探究：正弦线作图法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？

师:在以后的学习中，我们将不断作出正弦函数的图像，同学们想一想，如果每次作正

弦函数的图像都用这种方法的话，麻烦不麻烦？

生:虽然精确，但很麻烦。

师:（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图像呢？

师:引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数ysinx,x[0,2] 的图像，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？ 生:观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：3

（0，0）、（,1）、（，0）、（，-1）、（2，0）22组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，

称为“五点法”作图。

小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线

y

1O2322x1师:（小结）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作ysinx,x[0,2]的图象，只需先描出五个关键的点，再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五点法”，这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的每隔取一个值。

2学生小组活动：探究：五点法画出函数ycosx，x0,2的图象

[设计意图：通过例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。]

三、知识体验

画出下列函数的简图

例1：y1-sinx,x0,2； 例2：y-cosx，x-,. 活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练

习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看，“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成。对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学***有好处。解:1、按五个关键点列表：

x

0

0

1



2

0

1

3

22

-sinx

1-sinx

-1

1

2

0

1

0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

y2y1-sinx,x0,21O2322x

1ysinx,x0,22、按五个关键点列表：

x

cosx

-cosx

-

-1

1

-20

0

0

1

-1



20

0



-1

1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

-

y2y-cosx,x-,1-2O2x1ycosx,x,注意:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化。本例的目的是让学生熟悉“五点法”。

四、课堂练习

教材P84，第3题：在同一直角坐标系中，下列函数图像

（1）、作函数ysinx,x[0,2]的简图

(２)、作函数ycosx,x[32,2]简图

五、课堂小结

通过这节课的学习，同学们，你们有什么收获吗？

①

正弦函数图象的几何作图法

②

正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）

③

由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象

六、布置作业：

13x[,]的简图？

1、思考题：能否用五点法画出函数ysin(x)，6662、导学案：§6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质（第一课时）知识应用。