复习参考题课堂实录及点评

平面向量专题复习

考点1

平面向量的线性运算

【基础练习】

1．【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（

）

（A）AD1414ABAC （B ）ADABAC

3333（C）AD4141ABAC (D)ADABAC 33331114BCAC(ACAB)=ABAC，3333【解析】由题知ADACCDAC故选A. 2．【2015高考新课标2，理13】设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________．

ka2b）【解析】因为向量ab与a2b平行，所以ab（，则【典例分析】

例1.【2015高考北京】在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则x

k，1所以．

2,12k

；y

．

【答案】11,

26

【解析】特殊化，不妨设ACAB,AB4,AC3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2,)，32MN(2,),AB(4,0),AC(0,3)，则(2,)x(4,0)y(0,3)，

12124x2,3y

111,x,y. 2261

【例2】．【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD

中,已知

AB//DC,AB2,BC1,ABC60

,动点E

和F

分别在线段BC

和DC

上,且,BEBC,DF1DC,

则AEAF的最小值为

. 929【答案】

18【解析】因为DFDFCE11DC,DCAB，9211919CFDFDCDCDCDCAB，

9918ABAEABBEABBC，AFABBCCFABBC1919ABABBC，

181822191919AEAFABBCABBCABBC1ABBC181818211721172919199421cos1202

1818921892181821229即时AEAF的最小值为. 92318

当且仅当考点2 平面向量的数量积

【基础练习】

rrrrrrrrr1.若平面向量a,b满足a2,b2,aba，则a与b的夹角是

（ ）

A．5 B． C． D．

31264【答案】D【解析】rrrr2rrrrrrrr2，Qabaaabcosa,b0222cosa,b0,cosa,b2rrrr又a,b0,，所以a,b，故选D．

42.已知|a|2,|b|3，a,b的夹角为45，当向量ab与ab的夹角为锐角时，求实数的取值范围.

【错解】ab|a||b|cos4503，因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以2



(ab)(ab)0，由(ab)(ab)a(1)abb1250，得2255，所以的取值范围是(,). 1212【正解】ab|a||b|cos4503，因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以(ab)(ab)0，由(ab)(ab)a(1)abb1250，得225，当向量ab与ab方向相同时，1，即当1时，虽然12(ab)(ab)0，但向量ab与ab夹角为00，所以的取值范围是5,1)(1,). 123．已知|a||b|2，对任意xR，若不等式|axb|1恒成立，则ab的取值范围是(（ ）

A. ,23 B. 23, C. 23,23 D.

,23，或23,

【答案】C 【解析】对任意xR，不等式|axb|1恒成立，即|axb|2a2abxbx2

2242abx4x21恒成立，即32abx4x20恒成立，则0，即2ab2

4430，解得23ab23，可得ab的取值范围为23,23，【典例分析】

【例3】如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于A,B的一点

Q是线段AP上靠近A的三等分点,且AQAB4,则BQBP的值为

▲

分析：利用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则、数乘向量的定义对对向量进行合并或分解. 解析：因为AQAB2211AP(APPB)AP,所以AP=12，因此33BQBP=（BPPQ)BPBPABAP361224.

3

222

【例4】已知OA1,OB2,AOB150,点C在AOB的内部且AOC30，设OCmOAnOB，则【答案】B．

m3 （ ）A．3

B．23 C．

n2D．1

【例5】【2015高考福建】已知ABAC,AB,ACt

，若P

点是ABC

所在平面内一点，且AP1tABAB4ACAC

，则PBPC

的最大值等于（

）

A．13

B．15

C．19

D．21 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(,0)，C(0,t)，AP（，10)+4(0,1)=(1,4)，即yCPBAx1t1P（1，4)，所以PB=（1，-4)，PC=（1，t-4)，因此t11PBPC14t1617(4t)，因为tt114t24t4，所以PBPC

的最大值等于13，当tt114t，即t时取等号．

t2考点3 平面向量和三角函数的综合问题

【例6】已知向量a(2cosx2,3)，b(3cosx2,sinx)，0，设函数f(x)ab3的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为等边三角形，其高为23.

4

（1）求的值及函数f(x)的值域；

（2）若f(x0)10283，且x0(,)，求f(x01)的值.

335【解析】（Ⅰ）由已知可得f(x)ab36cos2xπ3sinx33cosx3sinx23sinx，

23由正三角形ABC的高为23，可得BC4，所以函数f(x)的最小正周期T428，即2π8，

ππxπ，故f(x)23sin，所以函数f(x)的值域为[23，23]．

434得

【举一反三】

1.已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=5

．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．

2.

已知函数f(x)2sin(x)(0,||ABBC2)的部分图像如图所示，若f03，且288.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若将f(x)的图像向左平移间[0,个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区6]上的最大值和最小值．

2

6

（Ⅱ）由题意将fx的图像向左平移个单位长度，得到函数gx的图像，

62gxfx2sin2x2sin2x.66332222523gx时，，x0,,2x,.当2xsin2x33233332取得最大值3，当2x232时，sin2x1，gx取得最小值2.

323

7