二次根式应用优秀教案范文

第十六章

二次根式

16．1

二次根式

第1课时

二次根式的概念

01

基础题

知识点1

二次根式的定义

1．下列式子不是二次根式的是( B ) A.5

C.0.5

B.3－π

D.1

32．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A.－7

3B.m C.1＋x2

D.2x 3．已知a是二次根式，则a的值可以是( C ) A．－2

B．－1

C．2

D．－5 4．若－3x是二次根式，则x的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．

知识点2

二次根式有意义的条件

5．x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义(D) A．－2

C．2

B．0 D．4 6．(2017·广安)要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是(B) A．x＞2

B．x≥2 C．x＜2

D．x＝2 7．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)－x；

解：由－x≥0，得x≤0.

(2)2x＋6；

解：由2x＋6≥0，得x≥－3.

(3)x2；

解：由x2≥0，得x为全体实数．

1(4)；

4－3x

4解：由4－3x>0，得x<. 3

(5) x－4. x－3x－4≥0，解：由

得x≥4. x－3≠0

知识点3

二次根式的实际应用

8．已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为(B) A．1 dm

B.2 dm C.6 dm

D．3 dm 9．若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为52cm，宽为2cm.

02

中档题

10．下列各式中：①A．1个

C．3个

1；②2x；③x3；④－5.其中，二次根式的个数有(A) 2B．2个

D．4个

11．(2017·济宁)若2x－1＋1－2x＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C) 1A．x≥

21C．x＝

212．使式子

1B．x≤

21D．x≠

21＋4－3x在实数范围内有意义的整数x有(C) x＋3

B．3个

D．2个

1有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a，b)的位置在(A) ab

B．第二象限

D．第四象限

A．5个

C．4个

13．如果式子a＋A．第一象限

C．第三象限

14．使式子－（x－5）2有意义的未知数x的值有1个．

15．若整数x满足|x|≤3，则使7－x为整数的x的值是3或－2．

216．要使二次根式2－3x有意义，则x的最大值是．

317．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)3；

2x－11解：x>. 2

2(2)；

1－x解：x≥0且x≠1.

(3)1－|x|；

解：－1≤x≤1.

(4)x－3＋4－x. 解：3≤x≤4.

03

综合题

18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．

解：∵3a－6≥0，2－a≥0，

∴a＝2，b＝4. 当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；

当边长为4，4，2时，符合实际情况，

4×2＋2＝10. ∴此三角形的周长为10.

第2课时

二次根式的性质

01

基础题

知识点1

a≥0(a≥0)

1．(2017·荆门)已知实数m，n满足|n－2|＋m＋1＝0，则m＋2n的值为3．

2．当x＝2__017时，式子2 018－x－2 017有最大值，且最大值为2__018．

知识点2

(a)2＝a(a≥0) 3．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：

(1)5＝(5)2;__ (2)3.4＝(3.4)2；

1(3)＝(612;__) (4)x＝(x)2(x≥0)．

64．计算：(2 018)2＝2__018．

5．计算：

(1)(0.8)2；

解：原式＝0.8.

(2)(－32)；

43解：原式＝. 4

(3)(52)2；

解：原式＝25×2＝50.

(4)(－26)2. 解：原式＝4×6＝24.

知识点3

a2＝a(a≥0)

6．计算（－5）2的结果是(B) A．－5

C．－25

B．5 D．25 7．已知二次根式x2的值为3，那么x的值是(D) A．3

B．9 C．－3

D．3或－3 8．当a≥0时，化简：9a2＝3a．

9．计算：

(1)49；

解：原式＝7.

(2)（－5）2；

解：原式＝5.

(3)1（－）2；

31解：原式＝. 3

(4)62. －1解：原式＝. 6

知识点4

代数式

10．下列式子不是代数式的是(C) A．3x

3B.

xC．x>3

D．x－3 11．下列式子中属于代数式的有(A) ①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x>2；⑦x2＋1；⑧x≠2. A．5个

B．6个

C．7个

D．8个

02

中档题

12．下列运算正确的是(A) A．－（－6）2＝－6

C.（－16）2＝±16

B．(－3)2＝9

D．－(－5)2＝－25 13．若a＜1，化简（a－1）2－1的结果是(D) A．a－2

C．a

B．2－a D．－a 14．(2017·枣庄)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是(A)

A．－2a＋b

C．－b

15．已知实数x，y，m满足x＋2＋|3x＋y＋m|＝0，且y为负数，则m的取值范围是(A)

B．2a－b

D．b

A．m＞6

C．m＞－6

B．m＜6 D．m＜－6 16．化简：（2－5）2＝5－2．

17．在实数范围内分解因式：x2－5＝(x＋5)(x－5)．

18．若等式（x－2）2＝(x－2)2成立，则x的取值范围是x≥2．

19．若a2＝3，b＝2，且ab＜0，则a－b＝－7．

20．计算：

(1)－21（－）2；

81解：原式＝－2×

81＝－. 4

(2)4×104；

－解：原式＝2×102.

－(3)(23)2－(42)2；

解：原式＝12－32 ＝－20.

(4)1（2）2＋31（－2）2. 311解：原式＝2＋2

332＝4. 3

21．比较211与35的大小．

解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，

(35)2＝32×(5)2＝45，

又∵44＜45，且211＞0，35＞0，

∴211＜35.

22．先化简a＋1＋2a＋a2，然后分别求出当a＝－2和a＝3时，原代数式的值．

解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，

当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；

当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.

03

综合题

23．有如下一串二次根式：

①52－42；②172－82；③372－122；

④652－162…

(1)求①，②，③，④的值；

(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；

(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简．

解：(1)①原式＝9＝3. ②原式＝225＝15. ③原式＝1 225＝35. ④原式＝3 969＝63. (2)第⑤个二次根式为1012－202＝99. (3)第个二次根式为（4n2＋1）2－（4n）2. 化简：（4n2＋1）2－（4n）2＝（4n2－4n＋1）（4n2＋4n＋1）＝（2n－1）2（2n＋1）2＝(2n－1)(2n＋1)．

16.2

二次根式的乘除

第1课时

二次根式的乘法

01

基础题

知识点1

a·b＝ab(a≥0，b≥0)

1．计算2×3的结果是(B) A.5

C．23

2．下列各等式成立的是(D) B.6 D．32 A．45×25＝85

B．53×42＝205 C．43×32＝75

D．53×42＝206 3．下列二次根式中，与2的积为无理数的是(B) A.1

2

B.12

D.32 C.18

4．计算：8×1＝2．

25．计算：26×(－36)＝－36．

6．一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23 cm，b＝36 cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2. 7．计算下列各题：

(1)3×5；

(2)125×1；

5解：原式＝15.

解：原式＝25

＝5.

(3)(－32)×27；

(4)3xy·1. y解：原式＝－62×7

解：原式＝3x.

＝－614.

知识点2

ab＝a·b(a≥0，b≥0)

8．下列各式正确的是( D ) A.（－4）×（－9）＝－4×－9 B.C.916＋＝16×444＝4×94

99

4D.4×9＝4×9 9．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是32的结果是( C ) A.6

C.18

B.12 D.36 10．化简（－2）2×8×3的结果是(D) A．224

C．－46

B．－224

D．46

11．化简：(1)100×36＝60；

(2)2y3＝y2y．

12．化简：

(1)4×225；

解：原式＝4×225＝2×15＝30.

(2)300；

解：原式＝103.

(3)16y；

解：原式＝4y.

(4)9x2y5z. 解：原式＝3xy2yz.

13．计算：

(1)36×212；

解：原式＝662×2＝362.

(2)12ab·510a. b解：原式＝2a2b＝a2b.

02

中档题

14.50·a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B) A．1

B．2

C．3

D．5 15．已知m＝(－3)×(－221)，则有(A) 3

B．4＜m＜5 D．－6＜m＜－5 A．5＜m＜6

C．－5＜m＜－4

16．若点P(a，b)在第三象限内，化简a2b2的结果是ab．

17．计算：

(1) 75×20×12；

解：原式＝25×3×4×5×3×4 ＝605.

(2)（－14）×（－112）；

解：原式＝14×112 ＝2×72×42

＝2×72×42

＝282.

(3) －32×45×2；

解：原式＝－3×16×22 ＝－962.

(4)200a5b4c3(a＞0，c＞0)．

解：原式＝2×102·（a2）2·a·（b2）2·c2·c ＝10a2b2c2ac.

18．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到0.01 km/h) 解：当d＝20 m，f＝1.2时，

v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38. 答：肇事汽车的车速大约是78.38 km/h.

19．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

解：设铁桶的底面边长为x cm，则

x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，

x＝30×30×2＝302. 答：铁桶的底面边长是302 cm.

03

综合题

20. (教材P16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著a＋b＋c作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c.记：p＝，则三角形的面积2S＝p（p－a）（p－b）（p－c），此公式称为“海伦公式”．

思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB＝7 m，AC＝5 m，BC＝8 m，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.

解：∵AB＝7 m，AC＝5 m，BC＝8 m，

a＋b＋c7＋5＋8∴p＝＝＝10. 22∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）

＝10×（10－7）×（10－5）×（10－8）

＝10×3×5×2＝103. ∴李大爷这块菜地的面积为103 m2.

第2课时

二次根式的除法

01

基础题

aa＝(a≥0，b＞0)

bb

1．计算：10÷2＝(A) 知识点1

A.5

2．计算2÷3B．5

C.5

2

D.10

23的结果是(B) 2

2B.

3D．以上答案都不对

A．1

3C.

2

3．下列运算正确的是(D) A.50÷5＝10

B.10÷25＝22 D.27÷3＝3 C.32＋42＝3＋4＝7

124．计算：＝2．

35．计算：

(1)40÷5；

(2)32；

2解：原式＝8＝22.

解：原式＝4.

(3)4÷522a3b；

(4)(a>0)．

15ab解：原式＝6.

解：原式＝2a.

aa＝(a≥0，b＞0)

bb6．下列各式成立的是(A) 知识点2

A.－3＝－533＝

55B.－7－7＝

－6－622＝

－9－919＋＝9＋411＝3

422

21D.

2C.D.7．实数0.5的算术平方根等于(C) A．2

8．如果

B.2

C.

x－12x－1（）＝，那么x的取值范围是(D) x－2x－2

A．1≤x≤2

C．x≥2

9．化简：

(1)7；

100

B．1＜x≤2

D．x＞2或x≤1 解：原式＝

(2)151；

4977＝. 10010解：原式＝

(3)64648＝＝. 4949725a4(b>0)．

9b225a45a2解：原式＝＝. 9b23b

知识点3

最简二次根式

10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C) A.1

3B.0.3

C.3

D.20 11．把下列二次根式化为最简二次根式：

(1)2.5；

解：原式＝

(2)8；

5510＝. 222解：原式＝10. 5

(3)12；

223解：原式＝＝3. 2

2(4)

. 3402解：原式＝

32×201＝

3×20

＝＝1

3×255. 30

02

中档题

12．下列各式计算正确的是(C) A.48＝16

3

12÷3

B.3÷1123＝1

3362C.＝

63213．计算11÷354a2bD.＝9ab 6a21的结果是(A) 5

2B.

7D.2

72A.5

7C.2

14．在①14；②a2＋b2；③27；④m2＋1中，最简二次根式有3个．

15．如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为25．

16．不等式22x－6＞0的解集是x＞17．化简或计算：

(1)0.9×121；

100×0.369×121＝36×1032×11233＝62×1061

103．

2解：原式＝＝

33101110×＝. 61020(2) 12÷27×(－18)；

解：原式＝－＝－12×18

274×3×2×9

3×9＝－22.

(3)27×12；

33×9×12

3解：原式＝＝3×23 ＝63.

2(4)12x÷y. 52解：原式＝(1÷)12x÷y 5＝＝5212xy

y253xy. y

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝18 cm2，BC＝3 cm，AB＝33 cm，CD⊥AB于点D.求AC，CD的长．

解：∵S11△ABC＝2AC·BC＝2AB·CD，

∴AC＝2S△ABCBC＝2183＝26(cm)，

CD＝2S△ABC2182AB＝33＝36(cm)．

03

综合题

19．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．

2化简：ab3－2ab＋a2bb－aa(b

解：原式＝ab（b－a）2b－aa①

＝a（b－a）bb－aa②

＝a·1aab③

＝ab.④

(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；

(2)错误的原因是什么？

(3)请你写出正确的解法．

解：(2)∵b

＝abb－a·(a－b)a

1＝－a·(－ab) a＝ab.

16.3

二次根式的加减

第1课时

二次根式的加减

01

基础题

知识点1

可以合并的二次根式

1．(2016·巴中)下列二次根式中，与3可以合并的是(B) A.18

B.1

3C.24

D.0.3 2．下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B) A.12－2

C.8a2＋2a

B.18－8

D.x2y＋xy2

3．若最简二次根式2x＋1和4x－3能合并，则x的值为(C) 1A．－

2C．2

3B.

4D．5 4．若m与18可以合并，则m的最小正整数值是(D) A．18

B．8 C．4

D．2

知识点2

二次根式的加减

5．(2016·桂林)计算35－25的结果是(A) A.5

C．35

6．下列计算正确的是(A) A.12－3＝3

C．43－33＝1

B．25

D．6 B.2＋3＝5

D．3＋22＝52 17．计算27－18－48的结果是(C) 3A．1

B．－1

C．－3－2

D.2－3 8．计算2＋(2－1)的结果是(A) A．22－1

B．2－2 C．1－2

D．2＋2 9．长方形的一边长为8，另一边长为50，则长方形的周长为142．

10．三角形的三边长分别为20 cm，40 cm，45 cm，这个三角形的周长是(55＋210)cm. 11．计算：

(1)23－3；

21解：原式＝(2－)3 2＝

(2)16x＋64x；

33. 2

解：原式＝4x＋8x ＝(4＋8)x ＝12x.

(3) 125－25＋45；

解：原式＝55－25＋35 ＝65.

(4)(2017·黄冈)27－6－解：原式＝33－6－＝83－6. 33

31. 3

02

中档题

12．若x与2可以合并，则x可以是(A) A．0.5

B．0.4 C．0.2

D．0.1 13．计算|2－5|＋|4－5|的值是(B) A．－2

B．2 C．25－6

14．计算41＋32

D．6－25 1－8的结果是(B) 3

B.3 D.3－2 A.3＋2

C.3

3

习题解析

15．若a，b均为有理数，且8＋18＋121＝a＋b2，则a＝0，b＝. 8416．已知等腰三角形的两边长分别为27和55，则此等腰三角形的周长为27＋105．

17．在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为42. 23 3

18.计算：

1

6 6

2 3

(1)18＋12－8－27；

解：原式＝32＋23－22－33 ＝(32－22)＋(23－33) ＝2－3.

(2) b12b3＋b248b；

解：原式＝2b23b＋4b23b ＝6b23b.

(3)(45＋27)－(4＋125)；

32解：原式＝35＋33－3－55 3＝

31(4) (2－27)－(3－2)．

423911解：原式＝2－3－3＋2 44223191＝(＋)2－(＋)3 4242＝

119．已知3≈1.732，求(27－431)－2(33－12)的近似值(结果保留小数点后两位)．

45112－3. 4473－25. 34解：原式＝3－3－3＋43 3＝83 38≈×1.732 3≈4.62.

03

综合题

20．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

解：∵a与b是可以合并的二次根式，a＋b＝75，

∴a＋b＝75＝53. ∵a

∴当a＝3，则b＝48；

当a＝12，则b＝27.

第2课时

二次根式的混合运算

01

基础题

知识点1

二次根式的混合运算

1．化简2(2＋2)的结果是(A) A．2＋22

B．2＋2 C．4

D．32 2．计算(12－3)÷3的结果是(D) A．－1

B．－3 C.3

D．1 3．(2017·南京)计算：12＋8×6的结果是63．

4．(2017·青岛)计算：(24＋5．计算：6．计算：

(1)3(5－2)；

解：原式＝15－6.

(2)(24＋18)÷2；

解：原式＝23＋3.

(3)(2＋3)(2＋2)；

解：原式＝8＋52.

(4)(m＋2n)(m－3n)．

解：原式＝m－mn－6n.

知识点2

二次根式与乘法公式

7．(2017·天津)计算：(4＋7)(4－7)的结果等于9．

8．(2016·包头)计算：69．计算：

(1)(2－12)；

21－(3＋1)2＝－4．

340＋5＝22＋1．

51)×6＝13．

6

1解：原式＝. 2

(2)(2＋3)(2－3)；

解：原式＝－1.

(3)(5＋32)2. 解：原式＝23＋610.

10．(2016·盐城)计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．

解：原式＝9－7＋22－2 ＝22.

02

中档题

11．已知a＝5＋2，b＝2－5，则a2 018b2 017的值为(B) A.5＋2

C．1

B．－5－2

D．－1 12．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是(C)

A．14

C．8＋52

13．计算：

B．16 D．14＋2 (1)(1－22)(22＋1)；

解：原式＝－7.

(2)12÷(323＋)；

433383解：原式＝12÷(＋) 1212113＝12÷

12＝23×＝24. 1112

113

(3)(46－41＋38)÷22；

2解：原式＝(46－22＋62)÷22 ＝(46＋42)÷22 ＝23＋2.

(4)24×1－4×31×(1－2)0. 8解：原式＝26×＝22－2 ＝2.

14．计算：

32－4××1 34(1)(1－5)(5＋1)＋(5－1)2；

解：原式＝1－5＋5＋1－25 ＝2－25.

(2)(3＋2－1)(3－2＋1)．

解：原式＝(3)2－(2－1)2

＝3－(2＋1－22) ＝3－2－1＋22 ＝22.

15. 已知a＝7＋2，b＝7－2，求下列代数式的值：

(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2. 解：由题意得a＋b＝(7＋2)＋(7－2)＝27，

a－b＝(7＋2)－(7－2)＝4，

ab＝(7＋2)(7－2)＝(7)2－22＝7－4＝3. (1)原式＝ab(b＋a)＝3×27＝67. (2)原式＝(a—b)2＝42＝16. (3)原式＝(a＋b)(a—b)＝27×4＝87.

03

综合题

16．观察下列运算：

1①由(2＋1)(2－1)＝1，得＝2－1；

2＋1②由(3＋2)(3－2)＝1，得③由(4＋3)(4－3)＝1，得1＝3－2；

3＋21＝4－3；

4＋3…

(1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；

(2)利用(1)中你发现的规律计算：(1)×(2 018＋1)．

2 018＋2 017解：(1)1＝n＋1－n(n≥0)．

n＋1＋n1＋2＋11＋3＋21＋…＋4＋31＋2 017＋2 016(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋2 017－2 016＋2 018－2 017)×(2 018＋1) ＝(－1＋2 018)(2 018＋1) ＝2 017.

小专题(一)

二次根式的运算

类型1

与二次根式有关的计算

1．计算：

1(1)62×6；

31解：原式＝(6×)2×6 3＝212 ＝43.

(2)(－45)÷541；

535

解：原式＝－45÷(5×) 5＝－45÷35 4＝－. 3

(3)72－32＋218；

23解：原式＝62－2＋62 23＝122－2 2＝

(4)(25＋3)×(25－3)．

解：原式＝(25)2－(3)2

＝20－3 ＝17.

2．计算：

(1)331÷(－4221)；

335÷

43212. 21解：原式＝[3÷(－)]2＝－6＝－69

209×5

20×59＝－5. 5

(2)(6＋10×15)×3；

解：原式＝32＋56×3 ＝32＋152 ＝182.

(3)354×(－8)÷7911；

5854×÷7911

5解：原式＝3×(－1)×＝－348÷73＝－7548×

66

56＝－10. 7

(4)(12－41)－(381－40.5);

3解：原式＝23－2－3＋22 ＝3＋2.

(5)(32－6)2－(－32－6)2. 解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2

＝18＋6－123－(18＋6＋123) ＝－243.

3．计算：

(1)(2 018－3)0＋|3－12|－6；

3解：原式＝1＋23－3－23 ＝－2.

(2)(2017·呼和浩特)|2－5|－2×(13解：原式＝5－2－＋5＋

221103－)＋. 822＝25－1.

类型2

与二次根式有关的化简求值

4．已知a＝3＋22，b＝3－22，求a2b－ab2的值．

解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)．

当a＝3＋22，b＝3－22时，

原式＝(3＋22)(3－22)(3＋22－3＋22) ＝42.

b（a≤b），5．已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：a★b＝2求7★(2★3)的值．

2a－b（a>b），解：由题意，得2★3＝3. ∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.

6．已知x＝2＋3，求代数式(7－43)x2＋(2－3)x＋3的值．

解：当x＝2＋3时，

原式＝(7－43)×(2＋3)2＋(2－3)×(2＋3)＋3 ＝(7－43)×(7＋43)＋4－3＋3 ＝49－48＋1＋3 ＝2＋3.

1117．(2017·襄阳)先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝5＋2，y＝5－2. x＋yx－yxy＋y2解：原式＝

＝2xy. x－y2x·y(x＋y) （x＋y）（x－y）当x＝5＋2，y＝5－2时，

2（5＋2）（5－2）原式＝

5＋2－5＋21＝. 2

8．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋22mn，

∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.

这样小明就找到了一种把a＋b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋23＝(1＋3)2；(答案不唯一) (3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

22a＝m＋3n，解：根据题意，得

4＝2mn.∵2mn＝4，且m，n为正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2. ∴a＝7或13.

章末复习(一)

二次根式

01

基础题

知识点1

二次根式的概念及性质

x＋4中，自变量x的取值范围是(C) xA．x>0

B．x≥－4 C．x≥－4且x≠0

D．x>0且x≠－4 2．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B)

1．(2016·黄冈)在函数y＝A.10

B.8 C.6

D.2 3．若xy＜0，则x2y化简后的结果是(D) A．xy

B．x－y

D．－xy C．－x－y

知识点2

二次根式的运算

4．与－5可以合并的二次根式的是(C) A.10

B.15

C.20

D.25 5．(2017·十堰)下列运算正确的是(C) A.2＋3＝5

B．22×32＝62

C.8÷2＝2

D．32－2＝3 16．计算5÷5×所得的结果是1．

57．计算：

(1)(2017·湖州)2×(1－2)＋8；

解：原式＝2－22＋22 ＝2.

(2)(43＋36)÷23；

解：原式＝43÷23＋36÷23 3＝2＋2. 2

1(3)32－275＋0.5－32解：原式＝22－103＋1；

2723－

2311＝(2＋)×2＋(－10－)×3 23＝

(4)(32－23)(32＋23)．

5312－3. 23

解：原式＝(32)2－(23)2

＝9×2－4×3 ＝6.

知识点3

二次根式的实际应用

8．两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位)

解：d＝50.24－3.1425.12

3.14＝16－8＝4－22 ≈1.17. 答：圆环的宽度d约为1.17.

02

中档题

9．把－a1－中根号外面的因式移到根号内的结果是(A) a

B．－a

D.a A.－a

C．－－a

1110．已知x＋＝7，则x－的值为(C) xxA.3

C．±3

B．±2 D.7 11．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简（a－5）2＋|a－2|的结果为3．

32－8＝2．

213．计算：(3＋2)3×(3－2)3＝－1．

12．(2016·青岛)计算：14．已知x＝5－1，则x2＋x＋1＝2．

215．已知16－n是整数，则自然数n所有可能的值为0，7，12，15，16．

16．计算：

1－(1)(3＋1)(3－1)－16＋()1；

2解：原式＝3－1－4＋2 ＝0.

(2)(3＋2－6)2－(2－3＋6)2.

解：原式＝(3＋2－6＋2－3＋6)×(3＋2－6－2＋3－6) ＝22×(23－26) ＝46－83.

17．已知x＝3＋7，y＝3－7，试求代数式3x2－5xy＋3y2的值．

解：当x＝3＋7，y＝3－7时，

3x2－5xy＋3y2

＝3(x2－2xy＋y2)＋xy ＝3(x－y)2＋xy ＝3(3＋7－3＋7)2＋(3＋7)×(3－7) ＝3×28－4 ＝80.

18．教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？(2≈1.414，结果保留整数) 解：正方形壁画的边长分别为800 cm，450 cm. 镶壁画所用的金彩带长为4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．

因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，

所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)．

故还需买约78 cm长的金彩带．

03

综合题

19．已知a，b，c满足|a－8|＋b－5＋(c－18)2＝0. (1)求a，b，c的值；

(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．

解：(1)由题意，得a－8＝0，b－5＝0，c－18＝0，

即a＝22，b＝5，c＝32. (2)∵22＋32＝52＞5，

∴以a，b，c为边能构成三角形．

三角形的周长为22＋32＋5＝52＋5.