2.6.2菱形的判定优质课教案内容

2.6.2

菱形的判定

课题

2.6.2

菱形的判定

授课人

1.探索并证明菱形的判定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互知识技能

相垂直的平行四边形是菱形．

2．会根据菱形的判定定理判定一个四边形是菱形，并根据判定定理进行简单的推理与计算.

教

学

目

标

数学思考

问题解决

培养学生养成判定四边形是菱形从邻边及对角线两方面去解决问题的思考.

采用从不同角度尝试寻求菱形的判定方法，有效地去解决实际问题.

1.在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心．

2．培养学生的动手实验、观察、推理意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.

教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

菱形判定定理的探索及其证明.

菱形判定方法的选择与灵活运用.

新授课

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

设计意图

引导学生回顾判定菱形的已学的唯一方法：定义，为后面课时

情感态度

回顾

问题：(1)什么叫菱形？(2)菱形是特殊的平行四边形，除了定义之外，还有其他的判别方法吗？

判定方法的得出提供了有力的依据.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【探究1】

菱形的判定定理1 活动

二：

实践

探究

交流

新知

如图2－6－49，已知在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形.

图2－6－49 证明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，根据菱形的定义，可知四边形ABCD是菱形. 结论：四边相等的四边形是菱形. 【探究2】

菱形的判定定理2 根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，它的逆命题：对

通过制作图形，从观察中得出图形的大致印象，然后通过几何的证明，判定所制作的图形是菱形，这样的教学方法发挥了学生的动手能力、猜测能力、思维能力及数学应用的推理能力，同时也发挥了学生学习的积极性.

【课堂引入】

参见教材P68“动脑筋”：

鼓励学生使用四根长度相同的笔制作一个图形，在制作之后，让学生根据图形去发现，并提出问题：这个图形是菱形吗？

让学生参与动手，在激情的过程中产生学习兴趣，同时提高学生对图形的认识能力.

1

角线互相垂直平分的四边形是菱形．由于对角线互相平分，所以可以得出这样的四边形是平行四边形．所以我们只要判断出“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这句话成立就可以了．参照教材P69“动脑筋”，通过画两条互相垂直的线段AC，BD，使得OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA.观察这个图形是否是菱形？

(答案是肯定的) 证明见教材. 结论：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【应用举例】

例1

如图2－6－50，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点. 求证：四边形BDEF是菱形.

图2－6－50 1证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点，∴BF＝AB，2应用性例题的讲解，从菱形的三个判定(含定义)的实际出1BD＝BC，EF∥BC，DE∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，2发，全面应用，在后面附加的又∵AB＝BC，∴BF＝BD，∴四边形BDEF是菱形. 变式一

如图2－6－51，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，M，N分别为边AD与BC的中点.

图2－6－51 求证：四边形BMDN是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD∥BN，MD＝BN，

∴四边形BMDN是平行四边形．又∵AB⊥BD，∴MD＝BM，∴四边形BMDN是菱形.

变式训练中，变换花样，改变形式，换用考查知识角度，使得训练多角度、多层次、全面综合应用菱形的判定解题.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

例2

[教材P68例2]

如图2－6－52，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD是菱形．

应用性例题的讲解，从菱形的三个活动

三：

开放

训练

体现

应用

图2－6－52

图2－6－53 变式二

如图2－6－53，E，F，G，H分别是矩形ABCD的各边中点．求证：四边形EFGH是菱形．

判定(含定义)的实际出发，全面应用，在后面附加的变式训练中，变换花样，改变形式，换用考查知识角度，使得证明：如图，连接BD，AC.∵在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，训练多角度、多层次、全面综合应用111BC，CD，DA的中点，∴AC＝BD，∴EF＝AC，GH＝AC.同理，FG＝BD，222菱形的判定解题.

1EH＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．

2

2

例3

[教材P69例3]

如图2－6－54，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝8，AD＝5.求AB的长．

图2－6－54

图2－6－55

变式三

如图2－6－55，在▱ABCD中，O是BD的中点，过点O作EF⊥BD，交BC于点E，交AD于点F.四边形BEDF是菱形吗？为什么？

解：四边形BEDF是菱形．

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠BEO＝∠DFO.

∵∠BOE＝∠DOF，BO＝DO，∴△BEO≌△DFO(AAS)，

∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

变式四

如图2－6－56，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD. (1)求证：OD＝OE；

(2)请判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

图2－6－56

(续表) 解：(1)证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠AOD＝∠EOC＝90°.∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.

在△ADO与△CEO中，

活动

三：

开放

训练

∴OD＝OE.

理由如下：由(1)得OA＝OC，OD＝OE，∴四边形ADCE体现

(2)四边形ADCE是菱形．应用

是平行四边形．∵AC⊥DE，∴平行四边形ADCE是菱形.

【拓展提升】

例4

如图2－6－57，已知：在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线的一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.

全面结合学生所学的所有知识，深入拓展，在基础题训练的层次

3

(1)求证：CD＝BE；

图2－6－57 (2)如果∠ABD＝2∠BED，求证：四边形BECD是菱形．

证明：(1)∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠DEB.∵O是边BC的中点，∴CO＝BO.在△COD和△BOE中，∠CDO＝∠BEO，∠COD＝∠BOE，CO＝BO，∴△COD≌△BOE(AAS)，∴CD＝BE.

(2)∵CD∥BE，CD＝BE，∴四边形BECD是平行四边形．

∵∠ABD＝2∠BED，且∠ABD＝∠BED＋∠BDE，∴∠BED＝∠BDE，∴BD＝BE，∴四边形BECD是菱形．

例5

如图2－6－58，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F，四边形AEFG是菱形吗？为什么？

图2－6－58 证明：四边形AEFG是菱形．理由：∵AD⊥BC，∠CAB＝90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4＝∠5，AE＝EF.∵∠1＝180°－90°－∠4，∠2＝180°－90°－∠5，∴∠1＝∠2.∵AD∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AG＝AE.∵AE＝EF，∴AG＝EF.∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形．∵AE＝EF，∴平行四边形AGFE是菱形．

例6

如图2－6－59，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FH⊥BC于点H，交BE于点G，连接CG. (1)求证：四边形图2－6－59 (2)若AB＝8，BC＝10，求四边形CEFG的面积．

CEFG上递进，促进优秀学生的发展，提高学生的解答问题的能力.

是菱形；

解：(1)证明：根据翻折，可知∠1＝∠2，EC＝EF.∵FH⊥BC，∴∠3＋活动

三：

开放

训练

体现

应用

∠4＝90°.又∵∠1＋∠4＝∠BCD＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EF∥CG.又∵FH⊥BC，∠BCD＝90°，∴FG∥CD，∴四边形CEFG是平行四边形．∵EC＝EF(已证)，∴四边形CEFG是菱形．

(2)根据翻折，知BF＝BC＝10.在Rt△ABF中，AF＝BF2－AB2＝102－82＝6，∴DF＝AD－AF＝10－6＝4.设CE＝EF＝x，则DE＝CD－CE＝8－x.在Rt△DEF中，DF2＋DE2＝EF2，

即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，故四边形CEFG的面积＝CE·DF＝5×4＝20. 当堂训练：P70练习T1，T2. 作业布置：P70习题2.6A组T3，T5B组T8. 活动

四：

课堂

总结

反思

【教学反思】

①[授课流程反思]

导入以操作为主，突出了学生的动手能力，同时提高了学生发现问题，

反思教学过程，就会体会到教学中的讲解是否到位、师生配合是【知识网络】

归纳全部判定知识，便于学生在学习中根据条件灵活选用.

当堂检测，及时反馈教学效果.

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猜想问题及运用数学的思想解决问题的能力，从兴趣的角度极大地调动了学生学习的积极性．

②[讲授效果反思] 在学习菱形的判定定理时，我们可以依靠菱形的性质，引导学生从边、说一说，使学生在活动中学习知识，感受到学习的快乐，这样既培养了学生的动手能力，又提高了学习的效果．

③[师生互动反思] 本堂教学以实践活动体现知识，通过师生互动，实现“猜想—证明”两个环节，切实地表现出了菱形的判定定理．在应用上，针对采用四边相等证明菱形的应用较少，在以后的教学中需多找些这类习题加强训练．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________ 否默契、教学例题安排是否合理、教学难易是否得当，以便在今后的教学中予以改正，实现角、对角线的角度出发，通过画图或操作直观感知，让学生亲自做一做，高效课堂.

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