探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第二课时教学实录

第四章第三单元

三角函数的图象与性质

教材为新人教版（高中数学必修第一册（下））

第一课时

☆教学课题：

§4.8.1

正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）

☆教学目标：

(一)知识目标

1．正弦函数的图象；

2．余弦函数的图象．

(二)能力目标

1．会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象；

2．用诱导公式画出余弦函数的图象；

3．会用“五点法”画正、余弦函数的图象．

(三)德育目标

1．培养学生的数形结合思想；

2．渗透由抽象到具体思想；

3．使学生理解动与静的辩证关系，注意与其他学科之间的联系，体现数学在其他学科及社会中的应用；

4．培养学生主动探索的精神，独立解决问题的能力.

☆教材分析：

在前面引进了任意角三角函数的定义的基础上，本节对正弦、余弦函数的图象和性质作了系统的研究.本节的主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质.教科书先利用正弦线画出函数y＝sinx，

x∈［0，2］的图象并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”再将其向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x在x∈R上的图象，即正弦曲线，在此基础上，利用诱导公式ycosx=

cos(x)= sin[2-(- x)]= sin( x+2),把正弦曲线向左平行移动1

2个单位长度，得到余弦曲线；然后利用图象考察了正弦、余弦函数的性质，还穿插着介绍了周期函数、（最小正）周期、奇函数和偶函数、在长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的意义，介绍了画出定义在闭区间［0，2］（其长度为一个周期）上的函数简图的“五点法”；最后介绍了如何求与正弦、余

弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值，如何求这类简单函数的周期,以及如何根据正弦、余弦函数的图象和周期性比较两个三角函数值的大小. 作为函数，它是已学过的指数函数与对数函数的后继内容.课本上基本是借助函数图象直观得出两个函数的性质，大部分没有给予证明.由于有研究指数、对数函数的基础，加之上单元三角变换为图形变换提供了依据，为数形结合创造了条件，因此学生接受起来并不是十分困难.但本节是“两面角和与差的三角函数”后的第一节，概念较多，思维方法与前有所不同，要取得好的教学效果，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），并通过一定的训练，使学生正确了解有关概念和图象的性质，就成为学好本节的关键.

三角函数的性质贯穿于本单元，函数的性质是研究函数的一个重要内容，它不仅是学习数学后继知识的重要基础，在科学研究、生产实际中也是重要工具之一，因此正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是本节教学内容的重点，利用正弦线画出函数y＝sinx，

x∈［0，2］的图象再利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数和最小正周期的意义，是本节的三个难点.总的来说，利用有关定义论证函数的某

些性质，利用图象获得函数的性质，再利用性质画出图像，使形和数紧密结合，培养学生的形象思维能力和想象能力，是本节的要点.

☆教学重点：

用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线

☆教学难点：

利用单位圆画正弦曲线及用诱导公式画出余弦曲线

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☆教具准备：

多媒体课件：几何画板

·几何画板课件内容如下：

①三角函数线的意义；

②在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1 与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的6、3、2、图象越精确)．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、…、2等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到2这一段(2≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2角的点)．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线Ｏ1B向右平移，使点O1与x轴上的点2重合)．再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数y＝sin

x在［0，2］上的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”再将其向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x在x∈R上的图象，即正弦曲线．

☆教学方法：

建构式教学法

☆学生的现状和教材：

已学好指数函数、对数函数及本章第一、二单元，能运用函数及第一、二单元的有关知识去解决一些简单问题的高一学生. ☆教学流程：

（Ⅰ）示疑——创设问题情境

[问题]请听下面两句诗：“问君能有几多愁，恰似一江春水向东流”“君住长江头，我住长江尾，日夜思君不见君，共引长江水”同学们涛涛江河之水能否在你们心中激起“波动”？这类波动都否用数学工具来描述？.数学源于实际又作用于实际，当然能.那么三角函数作为数学模型的作用就首当其冲，它具有良好

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的性质，因而被应用到方方面面（本章引言中有很多例子在这里不多描述）.那么三角函数到底有些什么样的性质？根据以前学习函数（一次函数、二次函数、指对函数等）的规律要研究其性质必先了解其图象.现在就请我们大家来一起探索、研究三角函数的图象到底是什么样的呢？——第三单元

三角函数的图象与性质

——§4.8.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）（板书）. （Ⅱ）寻疑——深入课堂、协作讨论、抓住问题、把握关键

[师]1、考虑作函数图象的基本方法是什么呢？描点法：（步骤如下）

例如、作出y＝sin

x在［0，2］上的图象；

（1）列表

x 0 25

36632113

3

1

0 2

222

y=sinx 0 743511

6323611-

-3

-1 -23

-

0 2222

（2）描点

（3）连线

y1-

2---32



012x-

让同学们自己发现此方法的弊端：标函数值时得计算器等工具求三角函数值，所以得到的都是近似值，从而不能准确的找准位置.那么有没有更准确的呢?（此时同学们带着急于想得到更准确的方法的心理去想问题），[表扬]看来同学们都具备了探索家、发明家的能力，马上行动起来吧. [师]2、三角函数是继指、对函数又一特殊（以角为自变量，以比值为函数

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值）函数，而且还有自己特殊的表示方式——是什么呢？

激发学生自动探索的浓厚兴趣，经过沉思、温故知新、商讨已有大部分同学考虑到用三角函数线将三角问题转化成几何问题（恍然大悟噢！原来是三角函数线呀）..\..\..\Program Files\几何画板4.06中文版（打开多媒体）

[师细讲]几何画板内容①：三角函数线的意义；

几何画板内容②：

在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确)．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、6、3、2、…、2等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到2这一段(2≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2角的点)．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线Ｏ1B向右平移，使点O1与x轴上的点2重合)．再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数y＝sin

x在［0，2］上的图象.

[说明]：自变量常用弧度来度量，使自变量表示到x轴上时，其单位长度易于与表示函数值的y轴上的单位长度一样，这样做，有利于不同的人画出的形状基本相同的曲线，从而对曲线建立正确的认识. [师]3、想要得到R上的正弦图象怎么办呢？

同学们都异口同声的回答——平移，原因根据“终边相同的角有相同的三角函数值”再将其向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x在x∈R上的图象，即正弦曲线．

[师]看来同学们通过自己的仔细观察已经正确的认识了正弦函数的图象了. 所以同学们自己学习的能力真是了不起的,相信自己定能成功!

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好一个“恰似一江春水向东流”呀！

[师]回顾此方法叫“正弦线”几何作图法:①等分;②作正弦线;③平移;④连线.（圆满完成了本课的第一个目标、第一个难点、同时也渗透了“德育”教育）

[师趁热打铁、解决难点]４、如何来作余弦函数的图象？

学生们几乎不用想很快回答说用“余弦线”可是学生们又自我否定了，因为余弦线在X轴上无法进行平移时间（允许的话可简单讲解余弦函数的几何作法）.又想用已知的正弦函数图象来得出.所以他们就主动的找出正、余弦函数在R上的关系（利用诱导公式有以下几种变形）

(ⅰ)ycosx= sin(2-x)=- sin( x-2)

★

[生1]分析图象的变化:

①由正弦函数y＝sin

x在实数集R的图象先向右平移2个单位得到y＝sin( x-2)在R上的图象; ②再把函数y＝sin( x-2)图象关于X轴对称就得到y＝-

sin(

x-2)的图象,它和函数ycosx是同一个函数,所以得到了余弦函数ycosx在R上的图象.

(ⅱ)ycosx= cos(x)= sin[2-(- x)]= sin( x+2)

★

[生2]分析图象的变化:直接由正弦函数y＝sin

x在R的图象向在平移2个单位得到.经过讨论,第二种变形更简单,所以采取第二种方式的平移.

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[师板书]上述画正弦曲线的方法是“正弦线”几何意义法，而余弦曲线是利用诱导公式导出与正弦函数的关系，通过把正弦曲线向左平移2个单位得到的.所以不废吹灰之力同学们就解决了本节的第二个目标、第二个难点.

[师]现在同学们已经了解了如何准确地画出正、余弦函数图象了,下面就实战演练,挑战自己的能力. 练习：作出函数

y＝1+sin

x，x∈［0，2］的图象

学生们个个是越越欲试：老师马上找[学生1]分析——只要先做出y＝sin

x，

x∈［0，2］的图象再向上平移即可，[师表扬]回答完全正确而且思维敏捷. [学生2]马上就说：＂可是工作量太大了，虽准确但是比较困难呀!＂

（Ⅲ）析疑——问题升华、进入重点：“五点法”作正、余弦函数图象

[师]５、所以同学们就得再发挥你们的小宇宙寻求更简单的方法；

同学们开始讨论，再次仔细观察函数y＝sin

x，

x∈［0，2］上的图象,同时想到画一次函数的图象不用描出过多的点,只需描出两个代表性的点（可谓是“关键点”）即可．几分钟后学生们就主动寻求了正弦函数图象上的五个＂关键点＂．

3

五点如下:（０，０）、（2，１）、（，０）、（，-１）、（2，０）

2而且只要是这五个点确定了，正弦函数的形状也就基本上确定了．因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．今后我们将经常使用这种近似的＂五点（画图）法＂．（师需要在这儿给予学生适当的提示，为什么会找这五个点？这五个点都是些什么样的点？使得学生了解在长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的

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几何意义：①在直角坐标系中五点的横坐标都是轴线角；②在图象上分别是：（2，１）是最高点、（轴的交点）

3，-１）是最低点、（０，０）、（，０）、（2，０）是和X2

[师]像画正弦曲线一样，余弦曲线x∈［0，2］也可以用五点法画出：

3

五点如下：（0，1）、（2，0）、（，-1）、（，0）、（2，1）,描点. 2

此方法为“五点法”：一定要注意这五个点的意义

（板书）

（Ⅳ）[师详解例题、规范步骤]下面我们就可以利用五点法画出下列函数的简图

例1、

画出下列函数的简图

（1）y＝1+sin

x，x∈［0，2］

（2）y＝-cos

x，x∈［0，2］

（1）解法一：按五个关键点列表

x

sin

x

1+sin

x

0 0 1 2



0 1 3

22

0 1 1 2 -1 0 利用光滑曲线描点画图（其中用虚线画出y＝sin

x，x∈［0，2］的图象）

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解法二：观察上面两个图象关系（通过＂图象平移＂）：所求函数y＝1+sin

x，x∈［0，2］的图象只需将y＝sin

x，

x∈［0，2］上的每一点向上平移一个单位长度就可得到.

（２）解法一：按五个关键点列表：（学生自己做，老师巡回指导）

x

cos

x

0 1 2



-1 1 3

22

1 -1 0 0 0 0 -cos

x

-1

利用光滑曲线描点画图

解法二：图象对称变换：函数y＝-cos

x，x∈［0，2］的图象与函数

y＝cos

x，x∈［0，2］的图象象关于x轴对称,所以将y＝cos

x，x∈［0，2］的图象作关于x轴对称就可得到所求函数图象. 小结：解法一中一定要掌握自变量在长度为一个周期上的闭区间上的“五个点”.二中说明利用图象间的关系通过平移、对称变换等方式也是快捷的作出函数图象的方法.同时希望同学们把＂数＂与＂形＂有机地结合起来，解决问题．

（Ⅴ）留疑——反思余味、留下问题

教学任务完成后，我留下以下几问题：

题１：小结本节内容涉及的知识、思想方法以及易漏、易错的地方．找几位同学分别回答，教师综全学生的回答作简明的概括：通过本节学习，要了解

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如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正

弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

题２：此节的三角函数图象作为数学模型在其他学科、社会中有无重要应用？你能否举出实例证实它的作用？体会学科之间，科学文化与社会之间的联系——来源于实践又反作用于实践．

题３：学完本节知识能否利用它来解决下节课的问题——正、余弦函数的性质都有哪些（即用图象观察性质）？反之如何利用性质来画图象？你能否从中体会“数形结合”这一基本数学思想的巨大作用？

（Ⅵ）知识回归——数学练习、作业

练习１、（1）写出满足下列条件的x的区间：

①sinx＞0________________；

②cosx＞0________________．

（2）下列各等式能否成立？为什么？

①2cosx＝3；②sin2x＝0．5 （3）画出y＝sinx，y＝cosx的图象

２、怎样利用正弦线、余弦线直观解题？

［例1］确定满足下列条件的角α的范围：

（1）sinα＋cosα＞1；

（2）sinα＋cosα＝1；

（3）sinα＋cosα＜1；

（4）|sinα|＋|cosα|＞1；

（5）|sinα|＋|cosα|＝1；

（6）|sinα|＋|cosα|＜1．

作业１、画出下列函数的简图：

（1）y=－sin x,

x∈［0，2］;（2）y=1+cos x,

x∈［0，2］;

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☆

课后反思：

此课采用的是“建构式教学法”：就“问题解决”的教学而言，笔者认为教师选取问题的标准是：使学生感到所面临的问题的确是他们自己的问题，并主动承担建立问题的责任:问题的恰当表述、解题方案的设计和实施、答案的检验等；而学习总体上是一个“顺应”的过程,要纠正学生的错误，不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习，必须是一个“自我否定”的过程.因此我在创设情境,选取题材及教学设计时注意了以下三个方面:其一内容从函数图象的整体上出发形象地引出了本节的主要内容，使知识更直观的展现在大家的面前，利用了学生的形象记忆（当事物不在面前时在个体头脑中出现的关于该事物的形象但与知觉相比它比较模糊、暗淡、不稳定，可它是人们对客观世界直觉感知过渡到抽象思维的一个中间环节）得到此课的初步进展；其二注意由一般到特殊、由难到简、由抽象到具体的教学原则，如三种画函数图象方法的探索、利用多媒体使问题更形象更直观更具体等；其三思维的训练，使用多媒体使学生从感性的认识上升到了理性的认识，同时利用学生的形象思维去主动探索新知,并且注意是否可与其他学科理、化、生等发生联系、在社会中是否能利用上知识呢？这是学完本课后的留下的思考问题，符合认知规律.其四课后的练习和作业是针对本节的知识和不同的梯度设计的,是不可缺少的一部分，它是巩固知识的一个重要环节和检验学生学习效果的一个重要步骤，而且作业一定要认真批改和讲解，使学生对知识的学习养成严谨、认真、精益求精的良好习惯.

本节课就是按着这样的设计意图进行的.

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