3.1.2 概率的意义优质课教案推荐

3.1.2 概率的意义

［学习目标导航］

1.理解概率的统计定义. 2.能用概率知识解释日常生活中的一些实例.

［教材优化全析］

在本节中教材介绍了概率的意义及生活中常见的几个概率实例，下面对其存在的几个问题逐一作以解释.

课本通过抛掷硬币和彩票中奖实例介绍了概率的意义.在抛掷硬币试验中，总共有三种可能结果：“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”.为什么“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的概率都是0.25，而“正面朝上、反面朝上各一次”的概率是0.5呢？事实上，抛掷两枚硬币按先后顺序有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）四种情况，这四种情况机会均等，各占

全析提示

把试验的所有可能结果一一列出，再研究某事件发生的概率，这是计算概率的最基本方法.

学习提示

重点是对概率统计定义的理解，难点是用概率知识解释实际问题.

1，但“正面朝上、反面朝上各一次”4包括了（正，反）、（反，正）两种情况，故其概率为0.5，而“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的概率各为0.25. 概率的意义告诉我们：概率是事件固有的性质，它不同于频率随试验次数的变化而变化，它反映了事件发生可能性的大小，但概率假如为10%，并不是说100次试验中肯定会发生10次，只是说可能会发生10次，但也不1也是这样.在彩票10009991000实例中，为什么买1000张彩票中奖的概率为1－（），这用到较1000排除发生的次数大于10或者小于10，彩票中奖率为深的概率知识，以后会慢慢学到. 对于游戏的公平性、决策中的概率思想、天气预报的概率解释、试验与发现、遗传机理中的统计规律等课本已作了详细说明，这儿不再赘述.下面再看几个实例.

［典型例题探究］

【例1】在英语中某些字母出现的概率远远高于另外一些字母.在进行了更深入的研究之后，人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定.例如，下面就是英文字母使用频率的一份统计表. 字母

频率

字母

频率

字母

频率

空格

0.2 H E 0.105 D T 0.071 L 0.029 B 0.0105 O 0.0644 C 0.023 V 0.008 A 0.063 F 0.0221 K 0.003 N 0.059 U 0.0225 X 0.002 I 0.054 M 0.021 J 0.001 R 0.053 P 0.0175 Q 0.001 S 0.052 Y 0.012 Z 0.001 概率是事件的本质属性，不随试验次数变化，频率是它的近似值，同频率一样，它也反映了事件发生可能性的大小，但它只提供了一种“可能性”，并不是精确值.

规律发现

根据概率的大小，我们可以合理地安排各项工作的先后顺序，使工作具有高效性. 0.047 0.035 W G 0.012 0.011 从表中我们可以看出，空格的使用频率最高.有鉴于此，人们在设计键盘时，空格键不仅最大，而且放在使用方便的位置. 近年来对汉语的统计研究有了很大的发展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料，对汉语常用词也作了一些统计研究.这些信息对汉字输入方案等的研制有很大帮助.使用过汉字拼音输入法的同学可能有体会.如下图，当

输入拼音“shu”，则提示有以下几种可供选择：1.数，2.书，3.树，4.属，5.署……这个显示顺序基本上就是按照拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排列的.

数

▼

1 数

2 书

3 树

4 属

5 署

6 输

7 淑

8 术

9 舒

概率的应用非常广泛，涉及生活的方方面面，在战争、国防安全等方面显得更为重要. 【例2】在密码的编制和破译中，概率论起着重要的作用.要使敌人不能破译电文而又能使盟友容易译出电文，一直是外交官和将军们关心的问题.为了保密，通讯双方事先有一个秘密约定，称为密钥.发送信息方要把发出的真实信息——明文，按密钥规定，变成密文.接收方将密文按密钥还原成明文.例如，古罗马伟大的军事和政治家凯撒大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母来代替，形成密文.接收方收到密文后，将每个字母前移三位后便得到明文.这是一种原始的编制密码方法，很容易破译. 在书面语言中单个的字母不是以同样的频率出现的.从例1中英文字母出现频率的统计表中我们可以看出，在英文常用文章中，平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%，“T”约为7.1%，而“J”的出现远小于1%.例如像凯撒大帝用过的简单密码，用FRGHV来代替CODES，容易通过对电文中字母的频率分析来破译.出现频率最高的字母大概表示“E”，出现频率次高的字母大概是“T”，等等. 现代保密系统采用了能确保每个字母出现在密文中的概率都相等的技术.一种理论上不可破译的密码是“一次性密码本”（用后立即销毁）.这种密码本是一长串的随机数，每个都在1和26之间.这样一种密码本可能从以下数开始：19，7，12，1，3，8，….如“ELEVEN”这个词，用按字母表顺序排在E后面第19个字母表示E，而用L后面第7个字母表示L，等等.因此，ELEVEN变成了XSQWHV.注意，尽管在明文中“E”出现3次，但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字母来替换的. 【例3】社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答.但是被采访者常常不愿意如实地作出应答. 1965年Stanley L. Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法.Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题.两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的.这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题. 例如在调查运动员服用兴奋剂的时候，无关紧要的问题是“你的身份证号码的尾数是奇数吗”，敏感的问题是“你服用过兴奋剂吗”，然后要求被调查的运动员掷一枚硬币.如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题. 假如我们把这种方法用于200个被调查的运动员，得到54个“是”的回答.因为掷硬币出现正面的概率为概率知识渗透到了我们生活的方方面面，比如摸彩票、天气预报、微机密码、比赛的公平性、兴奋剂问题等等. 1，我们期望大约有100人回答了第一2个问题.因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是同样的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”.其余4个回答“是”的人服用过兴奋剂.由此我们估计这群人中大约有4%的人服用过兴奋剂.

规律总结

通过以上例题与练习可以感到,数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论，而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖，到证券分析;从基因工程，到法律诉讼；从市场调查，到经济宏观调控;概率无处不在.

［知识应用自测］

1.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：

（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；

（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？

（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？（精确到百位）

解：（1）这种鱼卵的孵化频率为思路导引

←利用频率近似代替概率.

8513=0.8513，它近似的为孵化的概率. 100008513x（2）设能孵化x个，则=，∴x=25539，

3000010000即30000个鱼卵大约能孵化25539尾鱼苗. （3）设需备y个鱼卵，则50008513=，∴y≈5873，

y10000即大概得准备5873个鱼卵.

2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数. 解：设水库中鱼的尾数为n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率（代←利用概率相等（频率近似代替概率）.

2000，第二次从水库中捕出500尾，带有记号的鱼有40尾，n40则带记号的鱼被捕的频率（代替概率）为，

500200040由≈，得n≈25000. 500n替概率）为所以水库中约有鱼25000尾.

3.举出一些现实生活中应用概率的例子. 答案：略.