2.5.2 向量在物理中的应用举例板书设计及意图

第四十课时 平面向量的数量积

课前预习案

考纲要求

1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算律；

2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．

基础知识梳理

1．向量的数量积 （1）已知两个非零向量a,b，我们把 叫做向量a和b的数量积，记作ab.其中，a,b是向量a,b的夹角，其取值范围是 . 思考感悟：零向量与其它向量的数量积呢？两向量夹角的范围与数量积的符号有什么关系？

（2）两向量数量积的几何意义： . （3）向量a在b方向的投影为 . 2．数量积的性质：

①若e是单位向量，则ae=ea ；

②ab ； ③aaaa或a2aaaa； ④cosa,b= ； ⑤ab ab. 3．数量积的运算律

①ab= （交换律）；②abcacbc（分配律）；

③；

ab=  （数乘结合律）4．向量数量积的坐标运算：ax1,y1，bx2,y2，则：

a12a22；

①ab= ；②ab ；③a④设Ax1,y1，Bx2,y2，则AB ，AB ；

⑤cosa,b ．

预习自测

1．若a2sin15，b4cos15，a与b的夹角为30，则ab（ ）

A．3 2

B．23

C．2．已知向量acos,sin，向量b

A．42，0 B．4，42 1

2

D．3

3,1，则2ab的最大值、最小值分别是（ ）C．16，0

D．4，0 3．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD_______. 课堂探究案

典型例题

考点1：平面向量数量积的运算

【典例1】已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角150，求ab；(ab)2；|ab|.

【变式1】已知|a|3,|b|2，a与b的夹角为60，c3a5b，dma3b.

- 1 -

（1）当m为何值时，cd？（2）当m为何值时，c//d？

考点2：利用平面向量的数量积解决夹角问题

【典例2】已知a求的取值范围。

【变式2】设a、b是两个非零向量，ab，若a3b与7a5b垂直，则a与b的夹角为

考点3：平面向量的综合应用 2，b1，a与b的夹角为45，若2ab与a3b的夹角是锐角，133222（2）若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)； （3）根据（2）的结论，确定函数kf(t)的单调区间. 【典例3】

已知平面向量a(3,1),b(,)). （1）证明：ab；

【变式3】已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c，设向量m(a,b)

n(sinA,cosB),p(1,1)

(1)若m//n求角B的大小；

(2)若mp4边长c=2，角C

【

当堂检测】

1．若向量a、b满足a2，b1，aab1，则向量a、b的夹角的大小为 2．已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则b .

3求ABC的面积. 3．已知平面向量a(1,2)，b(3,4)，若ab=bc，则|c|的最小值是 课后拓展案

A组全员必做题

1．已知向量a与b不共线，且ab0，则下列结论中正确的是（ ）

A．ab与ab垂直 B．a与ab垂直 C．ab与a垂直 D．ab与ab共线

2．设x,yR，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,b//c，则|ab|=（ ） A.5 B.10 C.25 D.10 52，b在x轴上的投影为2，且b14，则b为（ ）

222A．2,14

B．2, C．2,

D．2,8

774. 若两个非零向量a，b满足|ab||ab|2|a|，则向量ab与ab的夹角（ ）

25

A．

B． C． D．

36643．设a4,3，a在b上的投影为

- 2 -

5 ．在四边形ABCD中,AC(1,2),BD(4,2),则四边形的面积为（

）

A．5

B组提高选做题

1 ．已知向量m1,1,n2,2,若mnmn,则=（

）

A．4 B．3 C．2 D．-1

2 ．已知点A1,1.B1,2.C2,1.D3,4,则向量AB在CD方向上的投影为（

）B．25

C．5 D．10 3231532315 B． C．

 D．

22223．已知向量AB与AC的夹角为120°,且AB3,AC2,若APABAC,且A．APBC,则实数的值为__________. 4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°,cta(1t)b,若bc0,则t=_____. 5．设e1,e2为单位向量.且e1,e2的夹角为,若ae13e2,b2e1,则向量a在b方向上的3投影为 ___________

参考答案

预习自测

1.D 2.D 3.2 典型例题

【典例1】ab=63, ab【变式1】（1）m225123, ab25123

299，（2）m

145【典例2】,32.

π【变式2】

3【典例3】

（1）略 （2）kf(t)区间（-1,1）

【变式3】（1）B=当堂检测

1.133tt （3）增区间(,1),(1,),减44π （2）SABC3

43π

42.32

- 3 -

3.1 A组全员必做题

1.A 2.B 3.B 4.C 5.C

B组提高选做题

1.B 2.A 3.712

4.2 5.52

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