阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学设计模板

第三节

平面向量的数量积与平面向量应用举例

高考明细表

年份

题号

考点

2014 4 2015 5 2016 13 共线定理

2017 4 运算

2018 4 数量积

模，数量积

向量坐标运算

1．向量的夹角

定义

已知两个非零向量a和b，作―→―→

图示

范围

设θ是a与b

的夹角，则θ的

取值范围是

0°≤θ≤180°

共线与垂直

θ＝0°或θ＝180°⇔

a∥b

θ＝90°_⇔a⊥b

OA＝a，OB＝b，则∠AOB

就是a与b的夹角

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量_________叫做a与b的定义

数量积，记作a·b

________叫做向量a在b方向上的投影，

投影

________叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论

模

几何表示

|a|＝

a·a

坐标表示

2|a|＝x1＋y21

夹角

a⊥b的充要条件

a//b的充要条件

cos θ＝a·b|a||b|

cos θ＝

a·b＝0

考点一

平面向量数量积的性质

角度一：平面向量模的计算

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 1解析：由题意，a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×1×＝1，所以|a＋2b|＝2＝4＋4×1＋4＝23. |a|2＋4a·b＋4|b|2答案：23 [题型技法]

求向量模的常用方法

(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝x2＋y2. (2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．

角度(二)

平面向量的夹角

π12．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b32的夹角是

(

) π5ππA.

B.

C.

664

D.3π

41π解析：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝3. 231π1113又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，

234424

所以cos〈a＋2b，b〉＝a＋2b·b|a＋2b||b|＝343×12＝3，

2π所以a＋2b与b的夹角为. 6答案：A [题型技法]

求向量夹角问题的方法

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；

(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝(3)数形结合

[注意]

〈a，b〉∈[0，π]．

x1x2＋y1y22222. x1＋y1·x2＋y2考点二

平面向量与三角函数的综合

[典题领悟] (2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，

所以－3cos x＝3sin x. 则tan x＝－3. 35π. 6又x∈[0，π]，所以x＝(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－3) π＝3cos x－3sin x＝23cosx＋6. ππ7π因为x∈[0，π]，所以x＋∈6，6，

63π从而－1≤cosx＋6≤. 2

ππ于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；

66π5π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－23. 66[冲关演练]

已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝

(cos x,1)，x∈R.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

解: ∵

f(x)2cosx3sin2x2cos(2x)1

32π∴f(A)＝1＋2cos2A＋3＝－1，

π2A＋cos＝－1. 3π2A＋=32k,得Ak3,kz,

A(0,)，A＝π. 3∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

3bc

所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，222

又a＝3c3c2ccosA，可得b＝3，c＝2. c27，所以a22课堂小结：

1、向量的模及两向量的夹角

2、平面向量与三角函数的综合问题

作业布置：第七页1，2，3；第八页1，3