信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优质课教案整理

第一课时

直线与平面垂直的判定

一、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论. 2．过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

（2）探究判定直线与平面垂直的方法. 3．情态、态度与价值观

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.

二、教学重点、难点

重点：了解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；

直线和平面所成的角的定义. 难点：理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．

理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．

三、教学过程

新课导入：

师：生活中，我们的国旗与地面，桌子腿与地面，墙角线与地面给人一种什么样的位置关系？

生：垂直

师：古代的日晷计时器如图，不同时间段指针的影子长短、位置都会变化，但指针与影子所在的直线始终会是一种什么关系？

生：垂直

概念形成：

如何定义一条直线与一个平面垂直？

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公

共点P叫做垂足. 如何表示一条直线与一个平面垂直？

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.

如何简单判定一条直线与一个平面垂直？能否像线线平行、线面平行、面面平行一样相互转换，将线面垂直转换成线线垂直？下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验：

将三角形的小纸片直接放在桌面，显然会因重心不稳而倾倒，

如果过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，

将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），

结果会如何呢？

怎样才能使小纸片在桌面上放得更稳？此时折痕AD与桌面垂直吗？

实验结果：

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，小纸片在桌面上放得最稳，且AD所在直线与桌面垂直.翻折前，∠ADC=∠ADB=90o，翻折后角度不变，即翻折前AD⊥BC，翻折后AD⊥BD，AD⊥CD，高垂直于底面两条交线时，垂直了底面的桌面。

定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

加深概念，判断对错：

1.若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面. 2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面. 3.若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面. 4.过直线上一点作一平面的垂线有且只有一条. 5.过平面内一点作一直线的垂面有且只有一个.

判断对错，并用图形说明：

①如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定2）

②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面

直线和平面所成的角：

如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.

习题巩固：

如图，直四棱柱A′B′C′D′

–

ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？

证明A′C⊥B′D′所在平面，或B′D′⊥A′C所在平面，

显然需要证明B′D′⊥A′C所在平面A′C′CA，则需证明B′D′垂直

平面A′C′CA内的两条交线，直四棱柱侧棱与底面垂直，

即C′C⊥平面A′B′C′D′，所以C′C⊥B′D′，还需B′D′⊥A′C′

即需条件B′D′⊥A′C′

扩展：师：当平面A′B′C′D′为什么形状时，对角线会相互垂直？

生：正方形、菱形

师：正方形要求非常严格，四边相等，四角都是直角，菱形的条件稍宽松些，只要四边相等，其实还可以减少条件，两组邻边分别相等的筝形。

已知AB=AD，BC=DC，试证明筝形的对角线AC⊥BD：

证明：AB=AD，BC=DC，AC=AC，

B 所以△ABC ≌△ADC，则∠BAC=∠DAC 在等腰△ABD中，AC为∠BAD的角平分线，

A O 三线合一，AO为BD边上的高，

D 所以AC⊥BD。

变式训练：将筝形对角线翻折，再证明对角线垂直

如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.

课堂小结：

线线垂直与线面垂直相互转换：

线垂直于面，则线垂直于平面内的所有线；

线垂直于平面内的两条相交直线，则线垂直于整个平面。

线面角的定义

作业布置：同步导练

第7课时，书67面练习2、3

C

四、教学后记