信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学实录

函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用

一、选择题

π1．(2018·长春质量检测)将函数f(x)＝cos2x－sin2x的图象向左平移8个单位长度后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(

) A．F(x)是奇函数，最小值是－2 B．F(x)是偶函数，最小值是－2 C．F(x)是奇函数，最小值是－2 D．F(x)是偶函数，最小值是－2 πππx＋＋＝2解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝2 cos2x＋4，则F(x)＝2cos284πcos2x＋2＝－2sin2x，故选C. 答案：C ππ2．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜2，f(0)＝－f2，π若将f(x)的图象向左平移12个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝(

) πA.12

πC.4

πB．6

πD．3

ππ解析：因为f(0)＝－f2，则sinφ＝－sin2ω＋φ，∴ω＝4k＋2，k∈Z，又πωππ将f(x)的图象向左平移12个单位长度后所得函数y＝sinωx＋12＋φω＞0,0＜φ＜2ωπππ图象关于原点对称，则12＋φ＝kπ，k∈Z，由ω＞0,0＜φ＜2得ω＝10，φ＝6.故选B. 答案：B πωx＋3．(2018·惠州第一次调研)已知函数f(x)＝3cos(ω＞0)和g(x)＝2sin(2x3π＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈0，3，则f(x)的取值范围是(

) 

A.[－3，3]

33

C.－3，23B．－2，3

3D．－3，2

解析：因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相ππππ同，所以ω＝2，f(x)＝3cos2x＋3.由x∈0，3，得2x＋3∈3，π.根据余弦函ππππ数的图象可知，当2x＋3＝π，即x＝3时，f(x)min＝－3；当2x＋3＝3，即x＝0时，33f(x)max＝，所以f(x)的取值范围是－3，2，故选D. 2答案：D 4．(2018·桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)若函数f(x)＝2sinωx(0＜π0，ω＜1)在区间上的最大值为1，则ω＝(

) 31A.4

1C.2

1B．3

3D．2

πππ解析：解法一：因为0＜ω＜1,0≤x≤3，所以0≤ωx＜3.所以f(x)在区间0，3ωπωπ1πωππ上单调递增，则f(x)max＝f3＝2sin3＝1，即sin3＝2.又0≤ωx＜3，所以3＝π1，解得ω＝62，故选C. ππ解法二：易知f′(x)＝2ωcosωx，因为0＜ω＜1,0≤x≤3，所以0≤ωx＜3，ππ则cosωx＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)在区间0，3上单调递增，则f(x)max＝f3＝ωπωπ1πωππ12sin3＝1，即sin3＝2，又0≤ωx＜3，所以3＝6，解得ω＝2，故选C. 答案：C π5．(2018·成都第一次诊断性检测)设函数f(x)＝sin2x＋3，若x1x2＜0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为(

) πA.6，＋∞

πB．3，＋∞



2πC.3，＋∞

4πD．3，＋∞

解析：f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)，函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，

3因为x1x2＜0，且当直线y＝m过f(x)的图象与y轴的交点0，时，直线为23πy＝2，|AB|＝3，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直π线y＝m向下移动时，线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|＞3.故选B. 答案：B 6．(2018·西安模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，πππ|φ|≤2的部分图象如图所示，若方程f(x)＝a在－4，2上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(

)

2A.，2

26C.－，2

22B．－，2

26D．，2

2解析：由题中函数f(x)的部分图象可得，函数f(x)的最小正周期为π，最小值

7π为－2，所以A＝2，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点12，－2的坐标πππ7π代入得，sin6＋φ＝－1，因为|φ|≤2，所以φ＝3，所以f(x)＝2sin2x＋3.若ππππf(x)＝a在－4，2上有两个不等的实根，即在－4，2上，函数f(x)的图象与直2线y＝a有两个不同的交点，结合图象(略)，得－2≤a＜2，故选B. 答案：B 二、填空题

7．(2018·山西八校第一次联考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则φ＝

________.

解析：由函数图象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因为图象过点(0，－1)，15π所以sinφ＝－2，因为x＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2kπ－6(k∈Z)，5π又－π＜φ＜0，所以φ＝－6. 5答案：－6π

ππωx－对任意的实数8．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos6(ω＞0)．若f(x)≤f4x都成立，则ω的最小值为________．

π解析：∵f(x)≤f4对任意的实数x都成立，

π∴f4＝1，

ππ2∴4·ω－6＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋3，k∈Z. 2又ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值3.

2答案：3

9．已知ω＞0，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为

3，则ω的值为________．

ππ解析：令sinωx＝cosωx，得sinωx－cosωx＝2sinωx－4＝0，所以ωx－4＝π1π2kπ＋4.如图，当k＝0时，x1＝，y1＝；当k＝1时，x2kπ，k∈Z，即x＝ω·4ω25π25ππ＝4ω，y2＝－2.由勾股定理，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(3)2，即4ω－4ω2＋22－－2＝3.化简得ω2＝π2.又ω＞0，所以ω＝π.

22

答案：π

三、解答题

10．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．

π(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，2上的最大值和最小值；

6ππ(2)若f(x0)＝5，x0∈4，2，求cos2x0的值．

解：(1)∵f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝

π3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6，

∴函数f(x)的最小正周期为π.

πππ7π又x∈0，2，∴2x＋6∈6，6，

π1∴sin2x＋6∈－2，1，

π0，∴函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. 2π6(2)∵f(x0)＝2sin2x0＋6＝5，



π3∴sin2x0＋6＝5，

ππ又x0∈4，2，

π2π7π∴2x0＋6∈3，6，

π∴cos2x0＋6＝－

π41－sin2x0＋6＝－5，

2ππ2x＋－

∴cos2x0＝cos066ππππ＝cos2x0＋6cos6＋sin2x0＋6sin6

＝3－4310. 311．已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x. (1)求f(x)的最小正周期；

π(2)当x∈0，4时，求f(x)的最值．

3解：(1)f(x)＝sinx＋cosx＋2sin2xcos2x

443＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋4sin4x

123＝1－2sin2x＋4sin4x

11－cos4x3＝1－2·2＋4sin4x

313＝4sin4x＋4cos4x＋4

π31＝2sin4x＋6＋4. 2πππ∴T＝4＝2.∴f(x)的最小正周期为2. ππ1ππ7πππ(2)当x∈0，4时，4x＋6∈6，6，sin4x＋6∈－2，1，则当4x＋6＝2，π5π7ππ1即x＝12时，函数f(x)取最大值4；当4x＋6＝6，即x＝4时，函数f(x)取最小值2.

π51所以当x∈0，4时，函数f(x)的最大值是4，最小值是2. πω＞0，0≤φ≤12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的2ππ距离为2，且在x＝8时取得最大值1. (1)求函数f(x)的解析式；

90，(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求8πx1＋x2＋x3的取值范围．

Tπ2π解：(1)2＝2⇒T＝π⇒ω＝π⇒ω＝2，

ππ2×＋φ＋φ＝1，

所以sin＝sin84ππ所以4＋φ＝2kπ＋2，k∈Z，

π所以φ＝2kπ＋4，k∈Z，

ππ因为0≤φ≤2，所以φ＝4，

π所以f(x)＝sin2x＋4. 2(2)画出该函数的图象如图，当2≤a＜1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且ππ9π5π点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝8对称，所以x1＋x2＝4，π≤x3＜8，所以4≤x111π＋x2＋x3＜8.