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要点梳理

1．二次根式的概念

一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解：

①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2．二次根式的性质

a2aa0;aa＞0，a2a0a0,aa＜0.

3．最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

(1)被开方数不含_______；

(2)被开方数中不含能___________的因数或因式．

4．二次根式的乘除

乘法：

＝______(a≥0，b≥0)；

除法：

＝____(a≥0，b>0)．

5、二次根式的加减.类似合并同类项

可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次根式进行合并．

6．二次根式的混合运算

有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！

考点训练

考点一

二次根式有意义的条件及性质

2x1例1 使代数式

有意义的x的取值范围是

3x

. 针对训练：1.若式子

x



3

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）

A.x≥3

B.x≤3

C.x>3

D.x<3 2.若

x



x



6



x

(

x

则（

）

6),

A.x≥6

B.x≥0

C.0≤x≤6

D.x为一切实数

22例2 若

x



1



(3

x



y



1

)



0,

求

5

y

的值.

x



1

方法总结：初中阶段主要涉及三种非负数：

a

≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.

a2针对训练：3.若实数a,b满足|

a



2

|



b



4



0,

则



. b

考点二

二次根式的化简及运算

例3

实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：|

a

|



a

2



b2.

2针对训练：

4.若1

a



2

a



1



a

2



6

a



9

的结果是

.

例4

计算：



1



4



1



(1



242)0.38

针对训练：5.计算：

3(

2



3)



24



|

6



. 3|

x2y2例5

先化简，再求值：



，其中

x12xyxy

23,y123

2



针对训练：6. 先化简，再求值：

1

2

,其中

a



2.a4a4a4

考点三

二次根式的实际应用

例6

把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．

针对训练：7. 若等腰三角形底边长为

12cm

，底边的高为

(

3



2)cm.

则三角形的面积为

.

2 a2aa