二次根式的混合运算教学内容分析

八年级（上）数学教案

任课教师：贺建平

单元名称：16.1二次根式

主备教师：贺建平

教学内容

16.1二次根式(1)

课时

1 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

教

知识与技能

2、掌握二次根式有意义的条件。

23、掌握二次根式的基本性质：和a0(a0)(a)a(a0)

学

目

过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

标

情感与态度

培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。

教学重点

教学难点

教学准备

二次根式有意义的条件；二次根式的性质．

综合运用性质a0(a0)和(a)2a(a0)。

课件

补充说明

一、知识回顾

1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？

2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？

3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？

4、7 表示什么？

5、a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？

6、平方根的性质

7、说出下列各式的意义；

16,81,0,教

学

设

计

1,104,0.04;

49二、合作交流（小组互助）

(1)16的平方根是 ；

(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：S)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式h5t2。如果用含h的式子表示t，则t= ；

(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；

(4)正方形的面积为b3，则边长为 。

思考：16，

sh

，,b3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 5定义: 一般地我们把形如a（a0）叫做二次根式，a叫做_____________。 。

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

3，16，34，5，a(a0)，x21

32、当a为正数时a指a的 ，而0的算术平方根是 ，负

数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。

3、根据算术平方根意义计算

：

3)(1) (4)2 (2) ( （3）(0.5)2 （4）(根据计算结果，你能得出结论： (a)2________，其中a0, 212)

34、由公式(a)2a(a0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

如(5)=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5). 三、展示提升（质疑点拨）

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：

6 0.35 (2)在实数范围内因式分解

22x27 4a2-11 例：当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？

练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？

①3x4

②212x

③

 2x32、（1）若a33a有意义，则a的值为___________．

（2）若

x在实数范围内有意义，则x为（ ）。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

3、(1)在式子212x1x中，x的取值范围是____________. (2)已知x4+(3)已知y3x四、达标检测

(一)填空题：

2xy＝0，则xy_____________. x32,则yx= _____________。

32x1y10，那么x= ，y= 。

1、5 2、若3、当x= 时，代数式4x5有最小值，其最小值是 。

4、在实数范围内因式分解：

2

x29x2( )2=（x+

）(y- ) （二）选择题：

1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）

A、a3 B、a3 C、a3 D、a3

2、二次根式a1中，字母a的取值范围是（ ）

A、

a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1

216.1 二次根式（1）

板书

设计

a0(a0)

(a)2a(a0)

教学

后记

单元名称：16.1二次根式 主备教师：王小丽

教学内容

16.1二次根式(2)

1、掌握二次根式的基本性质：aa

2课时

1 教

知识与技能

2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 学

目

过程与方法

会用二次根式的性质进行化简与计算

标

情感与态度

培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。

教学重点

教学难点

教学准备

二次根式的性质aa．

综合运用性质aa进行化简和计算。

22课件

补充说明

一、自学导航（课前预习）

（1）什么是二次根式，它有哪些性质？

（2）二次根式2有意义，则x 。

x5222（3）在实数范围内因式分解：x6x( )=（x+

）(y- ) 二、合作交流（小组互助）

1、计算：教

学

设

计

442 0.22 ()2 202 5a2 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,2、计算：4(4)2 (0.2)2 ()2 (20)2 52观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,a 3、计算：202 当a0时,a

三、展示提升（质疑点拨）

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

a0aa2a00

aa02、化简下列各式：

22（1）、0.32 （2）、(0.5) （3）、(6) （4）、2a2= （a0）

3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2a(a0)与aa有什么区别与联系。

1、化简下列各式

2（1）4x(x0) (2) 2x4

2、化简下列各式

（1）(a3)2(a3) （2）2x32（x＜-2）

四、达标检测

A组

21、填空：（1）、(2x1)-(2x3)2(x2)=_________. （2）、(4)= （3）a、b、c为三角形的三条边，则(abc)bac________. 2、已知2＜x＜3，化简：(x2)x3

B组

3、

已知0＜x＜1，化简：(x)4－(x

4、把2x2221x212)4

x1的根号外的2x适当变形后移入根号内，得（ ）

x2A、2xB、

x2 C、2x D、x2

5、

若二次根式2x6有意义，化简│x-4│-│7-x│。 16.1二次根式（2）

板书

设计

a2a 化简

例题

教学

后记

单元名称：16.2二次根式的乘除 主备教师：王小丽

教学内容

16.2二次根式的乘除（1）

课时

1 理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它教

知识与技能

们进行计算和化简

学

目

过程与方法

能用二次根式的性质以及乘法法则进行根式的化简.

标

情感与态度

通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法

教学重点

教学难点

教学准备

掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

课件

补充说明

一、自学导航（课前预习）

1．填空：（1）4×9=____，49=____； 4×9__49

（2）16×25=____，1625=___； 16×25__1625

（3）100×36=___，10036=___． 100×36__10036

二、合作交流（小组互助）

1、

学生交流活动总结规律．

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

教

学

设

计

a·b＝ab．（a≥0，b≥0 反过来: ab=a·b（a≥0，b≥0）

例1、计算

（1）5×7 （2）

例2、化简

22（1）916 （2）1681 （3）81100 （4）9xy（5）54

11×9 （3）36×210

（4）5a·ay5

3

（1）计算： ①

16×8 ②55×215 ③12a3·12ay

3（2）化简: 20; 18; 24; 54; 12a2b2 巩固练习

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

（2）4

121212×25=4××25=4×25=412=83

252525

三、展示提升（质疑点拨）

展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243

后再进行计算，你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

四、达标检测

A组

1、选择题

（1）等式x1x1x21成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．A．45×25=85 B．53×42=205

C．43×32=75 D．53×42=206

2（3）二次根式(2)6的计算结果是（ ）A．26 B．-26 C．6 D．12 2、化简与计算： 432x（1）360； （2）； （3）1830； （4）32

75B组

1、选择题

若a2b4b4cc2210，则b2ac=（ ）

4 A．4 B．2 C．-2 D．1

16.2二次根式的乘除（1）

板书

设计

，ab=a·b（a≥0，b≥0）

a·b＝ab（a≥0，b≥0）例题

教学

后记

单元名称：16.2二次根式的乘除 主备教师：王小丽

教学内容

16.2二次根式的乘除（2）

课时

1 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

教

知识与技能

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

3.会判断二次根式是否为最简二次根式。

学

目

过程与方法

能用二次根式的性质以及乘除法法则进行根式的化简.

标

情感与态度

通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法

教学重点

教学难点

教学准备

掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简

课件

补充说明

一、自学导航（课前预习）

1、计算：

（1）38×（-46） （2）12ab6ab3

2、填空： （1）9999=____，=____； 规律： ______；

1616161616161616=____，=____； ______； 36363636（2）教

学

设

计

（3）4444=____，=____； _______；

1616161636363636=____，=___． _______．

81818181

（4）

一般地，对二次根式的除法规定：

aaaa=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）

bbbb二、合作交流（小组互助）

1、计算：（1）

2、化简：

31116412 （2） （3） （4）

2841683364b25x9x （1） （2） （3） （4）

222649a169y64y

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

三、展示提升（质疑点拨）

阅读下列运算过程：

13322525，

53555333数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：

(1)

211=________（２）=_________(３) =_____ ___ (４) 6321210=___ ___ 25四、达标检测

A组

1、选择题

（1）计算121312．

1的结果是（ ）35 A．2722 5 B． C．2 D．77（2）化简32的结果是（ ）

27 A．-262 B．- C．- D．-2

3332、计算： （1）

（3）248 （2）

2x38x 119x （4） 41664y2

B组

用两种方法计算：

（1）646（2）

8 43

16.2二次根式的乘除（2）

板书

设计

aaaa=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）

bbbb例题

最简二次根式

教学

后记

单元名称：16.3二次根式的加减 主备教师：王小丽

教学内容

16.3二次根式的加减(1)

课时

1 1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式

2、理解和掌握二次根式加减的方法．

知识与技能

教

3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再学

总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

目

经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比思想，探究二次根式加减的方过程与方法

标

法，培养学生观察、探索、归纳的能力。

情感与态度

通过类比学习，培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神。

教学重点

教学难点

教学准备

二次根式的加减运算．

探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算。

课件

补充说明

222一、自学导航（课前预习）

计算．（1）2x3x；（2）2x3x5x；

（3）x2x3y；（4）3a2aa二、合作交流（小组互助）

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32 = （2）28-38+58 = 222

教

学

设

计

（3）7+27+397 = （4）33-23+2= 由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的意义相类似我们把33与23，3a、2a与4a这样的几个二次根式，称为同类二次根式） 32+8=32+22=52 33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类二次根式进行合并．

例1．计算 （1）8+18 （2）16x+64x

三、展示提升（质疑点拨）

例2．计算

（1）348-9

1+312 (2）（48+20）+（12-5）

3 归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

(1) 12(11) (2) (4820)(125)

327(3) x21x1x12 （4）x9x(x6x)

4yy3x4x2y22例3．已知4x+y-4x-6y+10=0，求（四、达标检测

（一）、选择题

2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值．

3xxy 1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二3次根式的是（ ）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④24=22，其中错误的有（ ）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

3 3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18(B)3和二、填空题

1．在8、1(C)a2b和ab2(D)a1和a1

3122175a、9a、125、3a3、30.2、-2中，与3a33a8是同类二次根式的有________．

2．若最简二次根式32x1与3x1是同类二次根式，则x＝______．

3．若最简二次根式3ab与______ 4．．计算：

（1）ab2b是同类二次根式，则a＝______，b＝13aa27a3a23a108a3a34112750.5

83（232

16.3二次根式的加减

板书

设计

同类二次根式

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，• 再将同类二次根式进行合并

教学

后记

单元名称：16.3二次根式的加减 主备教师：王小丽

教学内容

16.3二次根式的加减(2)

课时

1 教

知识与技能

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

学

过程与方法

培养学生较熟练的运算能力

目

标

情感与态度

帮助学生正确对待学习，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法

教学重点

教学难点

教学准备

熟练进行二次根式的混合运算。

混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

课件

补充说明

一、自学导航（课前预习）

计算：

（1）6·3a·（3）238111 b

（2）3416111250

25二、合作交流（小组互助）

1、探究计算：

（1）（83）×6 （2）(4236)22

教

学

设

计

2、探究计算：

（1）(23)(25) （2）(232)2

计算： （1）(

（3）(3223)2 （4）（10-7）（-10-7）

三、展示提升（质疑点拨）

同学们，我们以前学过完全平方公式(ab)a2abb，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可2221227243)12 （2）(235)(23)

33

以看作是一个数的平方，如3=（3），5=（5），下面我们观察：

22(21)2(2)2212122221322

反之，3222221(21)2∴ 322(21)2

∴ 322=2-1 仿上例，求：（1）；423

（2）你会算412吗？

四、达标检测

A组

1、计算：

（1）(8090)5 （2）243623

3（3）(ab3abab3)(ab)（a>0,b>0）

（4）(26-52)(-26-52)

2、已知a

B组

1、计算：（1）(321)(321)

121,b121，求ab10的值。

22

（2）(310)2009(310)2009

16.3二次根式的加减2 板书

二次根式的混合运算

设计

教学

后记