复习参考题第二课时教学设计

三角函数易错题

一．选择题（共12小题）

1．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移的图象，若个单位长度得到函数y=g（x）为g（x）的一个极值点，则实数ω的最小值为（

）

D．

个单位后，得=A．

B．

C．2 2．已知函数f（x）=﹣sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移到函数g（x）的图象关于直线（

）

A．

B．

C．

D．

对称，若，则3．将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ≤，）个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在（A．[，]

B．[，）上单调递减，则φ的取值范围为（

）

，]

D．[，]

个单位长度，得到]上不是单]

C．[4．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣调函数，则ω的最小整数值为（

）

A．9 B．11 C．17 D．25

）（ω＞0）且f（）=f（5．已知函数f（x）=cos（区间（A．

B．6．函数的取值范围为（

）

A．[2π，4π]

B．

），若f（x）在）上有最大值，无最小值，则ω的最大值为（

）

C．

D．

的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ωC． D．

第1页（共28页）

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcosC+csinBcosA=b且a＞b，则B=（

）

A．

B．

C． D．

8．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，cosAcosBcosC＞0，则A．（，的取值范围是（

）

）

B．（，）

C．（，）

D．（，）

9．已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（

）

A．[﹣2，2]

B．[﹣，2]

C．[﹣2，]

D．[﹣，]

，满足cosα=C． D．，sinβ=+2kπ

，α，β均为锐角，则角β等于（

）

，求α+β的值（

）

10．已知，0＜α，β＜A．

B．或

11．已知sinα=A． B．，sin（β﹣α）=﹣

D．

C．12．已知α为锐角，且A．

二．填空题（共2小题）

13．在凸四边形ABCD中，最大值为

．

B．

C．，则sin（π﹣α）=（

）

D．

，则CD的14．在平面四边形ABCD中，AB⊥AC，AD⊥CD，AB=3，AC=8，则BD的最大值为

．

三．解答题（共12小题）

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）点D满足

=．

=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．

第2页（共28页）

16．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2C+=0，a=4，c=．

cos（A+B）（Ⅰ）求△ABC的面积；

（Ⅱ）求cos（2A+C）的值．

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=，（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）已知AD为BC边上的中线，且AD=18．已知函数f（x）=cos2ωx+距离是π．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC﹣sin2C=sin2A﹣sin2B，求f（A）的取值范围．

19．在△ABC中，C=60°，BC=2AC=2（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若点D在BC边上，且sin，求CD．

=．

．

，求△ABC的面积．

csinA+acosC=b．

sin2ωx﹣（ω＞0）的图象上相邻的最高点间的20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；

（2）已知=4，△ABC的面积为6，求边长b的值．

21．在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB+bsinB=c．

（1）求角C；

（2）若B=，延长线段AB至点D，使得CD=，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．

22．如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC=120°，AB=3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD=1．

（Ⅰ）求sinA；

（Ⅱ）求△BCD的面积．

第3页（共28页）

23．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为=．

，且c＞a，求c．

24．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，2sinA=sinC．

（Ⅰ）求c的长；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

25．在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值．

26．在△ABC中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且c=2．

（1）若（2）若s的值．

，b=3，求sinC的值；

，且△ABC的面积，求a和b第4页（共28页）

三角函数易错题

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移的图象，若个单位长度得到函数y=g（x）为g（x）的一个极值点，则实数ω的最小值为（

）

D．

A．

B．

C．2 【分析】直接利用三角函数的伸缩变换的正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移得到函数y=g（x）=sin（ωx﹣由于：则：解得：ω=4k+2（k∈Z），

由于：ω＞0，

则：ω的最小值为2．

故选：C．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用．

2．已知函数f（x）=﹣sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移到函数g（x）的图象关于直线（

）

A．

B．

C．

D．

对称，若，则个单位后，得=）的图象，

个单位长度，

为g（x）的一个极值点，

（k∈Z），

【分析】首先利用函数的额平移变换和正弦型函数的性质求出函数的解析式，进一步利用三角函数的关系式的恒等变换求出结果．

第5页（共28页）

【解答】解：函数f（x）=﹣sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移后，得到：

g（x）=﹣sin（2x﹣+φ），

对称，

个单位函数g（x）的图象关于直线即：g（故：则：φ=kπ+）=±1，

，（k∈Z）

（k∈Z），

由于：0＜φ＜π，

则：k=0时，φ=，

）．

故：f（x）=﹣sin（2x+由于：则：sin（θ﹣所以：=故选：C．

，

）=，

==1﹣=cos（．

），

【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和三角函数关系式的恒等变换及相关的运算问题的应用．

3．将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ≤，）个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在（A．[，]

B．[，）上单调递减，则φ的取值范围为（

）

，]

D．[，]

]

C．[【分析】直接利用三角函数的平移变换和函数的性质求出结果．

【解答】解：函数y=sin2x﹣≤

cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ）个单位长度后得到f（x）的图象，

第6页（共28页）

即：f（x）=2sin（2x+2φ﹣令解得：由于：f（x）在（，），

（k∈Z），

（k∈Z），

）上单调递减，

则：，

解得：当k=0时，故选：D．

，

，

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质的应用．

4．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，得到]上不是单y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象关于原点对称，且在[﹣调函数，则ω的最小整数值为（

）

A．9 B．11 C．17 D．25

【分析】根据三角函数图象平移法则写出y=g（x）的解析式，再由y=g（x）的图象关于原点对称和g（x）在[﹣整数值．

【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+∴y=2sin[ω（x﹣）+）（ω＞0）的图象向右平移），

个单位长度，

]上不是单调函数，即可求出ω的最小]=2sin（ωx+），

∴y=g（x）=2sin（ωx+若y=g（x）的图象关于原点对称，

则=kπ，k∈Z；

第7页（共28页）

解得ω=1﹣8k，k∈Z①；

又g（x）在[﹣∴＜得T＜即∴ω＞＜+，

，

，

②；

]上不是单调函数，

由①②知，ω的最小整数值为17．

故选：C．

【点评】本题考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．

5．已知函数f（x）=cos（区间（A．

B．）（ω＞0）且f（）=f（），若f（x）在）上有最大值，无最小值，则ω的最大值为（

）

C．

D．）=f（

【分析】根据f（再根据f（x）在（的最大值．

）求出f（x）的一条对称轴，得出ω的解析式，）上有最大值，无最小值，利用最小正周期求得ω【解答】解：函数f（x）=cos（∴直线x=×（轴，

∴ω•﹣=2kπ，k∈Z，

+）=）（ω＞0）且f（为f（x）=cos（ωx﹣）=f（），

）（ω＞0）的一条对称∴ω=k+，k∈Z，

又ω＞0，且f（x）在区间（∴T＞∴

）上有最大值，无最小值，

﹣＞，

=，

第8页（共28页）

∴ω＜12，

∴当k=4时，ω=故选：D．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

6．函数的取值范围为（

）

A．[2π，4π]

B．

C． D．

+=为最大值．

的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ω【分析】根据在[0，1]上，求解内层函数的范围，由题意在[0，1]上恰有两个最大值点，结合三角函数的性质建立不等式可得结论．

【解答】解：函数∵x∈[0，1]上．

∴．

在[0，1]上恰有两个最大值点，

∴解得：故选：C．

【点评】本题考查三角函数的图象及性质，考查转化思想以及计算能力．

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcosC+csinBcosA=b且a＞b，则B=（

）

A．

B．

C． D．

，

．

【分析】利用正弦定理与两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理，求出sinB的值，即可求得角B的大小．

【解答】解：△ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，

由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB≠0，

第9页（共28页）

∴sinAcosC+sinCcosA=，

∴sin（A+C）=；

又A+B+C=π，

∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=；

又a＞b，

∴B=．

故选：A．

【点评】本题考查了正弦定理与两角和的正弦公式以及三角形内角和定理的应用问题，是中档题．

8．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，cosAcosBcosC＞0，则A．（，的取值范围是（

）

）

B．（，）

C．（，）

D．（，）

【分析】利用二倍角公式化简B=2A换成边的关系，求得A的范围，再根据正切函数的单调性求得的取值范围．

【解答】解：△ABC中，由cosAcosBcosC＞0知，△ABC是锐角三角形，

由正弦定理可知sinB=sin2A=2sinAcosA，

∴b=2acosA，∴==tanA，

∵A+B+C=180°，B=2A，

∴3A+C=180°，A=60°﹣＞30°，

∵2A＜90°，

∴A∈（30°，45°），则＜＜．

＜tanA＜1，

故选：D．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用问题，解题时应把边化成角的问题，利用三角函数的基本性质求解．

第10页（共28页）

9．已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（

）

A．[﹣2，2]

B．[﹣，2]

C．[﹣2，]

D．[﹣，]

【分析】根据二倍角公式化简，消去其中一个角，转化思想，利用三角函数的有界限求解范围即可．

【解答】解：∵sinα+cosβ=，

可得：cosβ=﹣sinα，

∵﹣1≤﹣sinα≤1．

可得：≤sinα≤1．

那么：cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（cos2β﹣sin2α）

=2（cosβ+sinα）（cosβ﹣sinα）=2×∵sinα∈[，1]，

则：﹣6sinα∈[﹣6，﹣3]，

∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣，]．

故选：D．

【点评】本题考查了三角恒等式的变换和三角函数的有界限应用．属于中档题．

10．已知，0＜α，β＜A．

B．或

，满足cosα=C． D．，sinβ=+2kπ

，求α+β的值（

）

（﹣2sinα）=﹣6sinα，

【分析】根据两角和差的余弦公式，进行转化求解即可．

【解答】解：∵0＜α，β＜∴sinα==，满足cosα==×﹣，sinβ=，

×=，

，

，cosβ=则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=∵0＜α，β＜，

第11页（共28页）

∴0＜α+β＜π，

∴α+β=故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．

11．已知sinα=A． B．，sin（β﹣α）=﹣

D．

，

，α，β均为锐角，则角β等于（

）

C．【分析】利用两角和差的正弦公式将β=α+（β﹣α）进行转化求解即可．

【解答】解：β=α+β﹣α，

∵α，β均为锐角，

∴0＜α＜则﹣，0＜β＜，

＜0，

===，

，﹣＜﹣α＜0，

＜β﹣α＜∵sin（β﹣α）=﹣∴﹣∵sinα=∴cosα=＜β﹣α＜0，则cos（β﹣α）=，

===，

则sinβ=sin（α+β﹣α）=sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）=）=则β=，

==，

×+×（﹣故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数角的求解，利用两角和差的正弦公式进行转化是解决本题的关键．

12．已知α为锐角，且，则sin（π﹣α）=（

）

第12页（共28页）

A．

B．

C． D．）﹣＜，

【分析】根据α为锐角，利用α=（α+【解答】解：α为锐角，∴又∴cos（α+当cos（α+，

）=±；

）=时，

＜α+，求sin（π﹣α）的值即可．

sin（π﹣α）=sinα

=sin[（α+=sin（α+）﹣）cos

]

﹣cos（α+）sin

=×﹣×=＜0，不合题意，舍去；

）=﹣时，

当cos（α+sin（π﹣α）=sinα

=sin[（α+=sin（α+）﹣）cos]

﹣cos（α+

）sin

=×﹣（﹣）×=＞0，满足题意；

．

综上，sin（π﹣α）=故选：A．

【点评】本题考查了三角函数的求值以及三角恒等变换的应用问题，是中档题．

二．填空题（共2小题）

13．在凸四边形ABCD中，最大值为

，则CD的+2

．

第13页（共28页）

【分析】根据题意，设∠ABD=α，利用正弦、余弦定理和三角恒等变换，即可求出CD的最大值．

【解答】解：凸四边形ABCD中，连接BD，设∠ABD=α，∴∠A=180°﹣α﹣30°=150°﹣α；

又△ABD中，∴BD=4sin（150°﹣α），

∠CBD=150°﹣α，

∴CD2=+16sin2（150°﹣α）﹣2•4sin（150°﹣α）•cos（150°﹣α）

=，

，

=3+8×[1﹣cos（300°﹣2α）]﹣4=11+8×[=11+8×sin（300°﹣2α）

sin（300°﹣2α）+cos（300°﹣2α）]

sin（300°﹣2α+β），其中tanβ=时，

；

当300°﹣2α+β=90°，即α=105°+CD取得最大值为故答案为：+2．

=+2．

【点评】本题考查了正弦、余弦定理和三角恒等变换的应用问题，是综合题．

14．在平面四边形ABCD中，AB⊥AC，AD⊥CD，AB=3，AC=8，则BD的最大值为

9

．

【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求得BD2以及BD的最大值．

第14页（共28页）

【解答】解：如图所示，

平面四边形ABCD中，AB⊥AC，AD⊥CD，AB=3，AC=8，

设∠CAD=α，则∠BAD=90°+α；

∴AD=8cosα，

∴BD2=32+（8cosα）2﹣2×3×8cosα×cos（90°+α）

=9+64cos2α+48sinαcosα

=41+32cos2α+24sin2α

=41+40sin（2α+β），其中tanβ=；

当2α+β=时，BD2取得最大值为41+40=81；

∴BD的最大值为9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了直角三角形的边角关系和余弦定理的应用问题，是中档题．

三．解答题（共12小题）

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．

=．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；

（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∴

=，

=，

第15页（共28页）

∴ac﹣c2=a2﹣b2，

∴ac=a2+c2﹣b2，

∴cosB=又B∈（0，π），

∴B=；

==；

（Ⅱ）如图所示，

点D满足=2，∴BC=CD；

又线段AD=3，

∴AD2=c2+4a2﹣2•c•2acos∴c2+4a2=9+2ac；

又c2+4a2≥2c•2a，

∴4ac≤9+2ac，

∴2ac≤9；

∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，

∴2a+c≤6，

即2a+c的最大值为6．

【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．

16．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2C+=0，a=4，c=．

cos（A+B）=c2+4a2﹣2ac=9，

（Ⅰ）求△ABC的面积；

（Ⅱ）求cos（2A+C）的值．

【分析】（Ⅰ）根据题意，利用正弦、余弦定理求得角C和b的值，再计算△ABC第16页（共28页）

的面积；

（Ⅱ）利用正弦定理和三角恒等变换求得cos（2A+C）的值．

【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，sin2C+∴sin2C﹣2sinCcosC=C∈（0，∴sinC=∴C=；

，

，

cosC=0，

cosC，

），∴cosC≠0，

，

cos（A+B）=0，

又a=4，c=∴c2=13=42+b2﹣2×4bcosb2﹣4b+3=0，解得b=3或b=1；

验证b=1时，b2+c2＜a2，A是钝角，不合题意；

∴b=3，

△ABC的面积S=absinC=×4×3×（Ⅱ）=，

=3；

∴sinA=∴cosA====，

，

∴sin2A=2sinAcosA=2×cos2A=2cos2A﹣1=2××=﹣1=﹣，

；

∴cos（2A+C）=cos2AcosC﹣sin2AsinC

=﹣=﹣×﹣．

×

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．

第17页（共28页）

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=，（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）已知AD为BC边上的中线，且AD=csinA+acosC=b．

，求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与同角的三角函数关系求得tanA和sinC的值；

（Ⅱ）根据三角形内角和定理和余弦定理求得a、c的值，再求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∴sinCsinA+sinAcosC=sinB

csinA+acosC=b，

=sin（A+C）

=sinAcosC+cosAsinC，

化简得sinCsinA=cosAsinC；

又sinC≠0，

∴sinA=cosA，

，

∴tanA=∴A=30°；

又=，

∴=，

∴sinC=sinA=sin30°=；

（Ⅱ）如图所示，

sinC＜sinA，

∴C＜A，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC

=﹣∴=×=；

+×=﹣，

∴AD2==c2+﹣2c•cosB=+﹣a2×（﹣）；

a2=196，a=14，∴c=a=4，

第18页（共28页）

∴△ABC的面积S=acsinB=×4×14×=10．

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．

18．已知函数f（x）=cos2ωx+距离是π．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC﹣sin2C=sin2A﹣sin2B，求f（A）的取值范围．

【分析】（I）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，求出ω的值，写出f（x）的解析式；

（II）由正弦、余弦定理求得B的值，由此求出A的取值范围，再求f（x）的取值范围．

【解答】解：（I）函数f（x）=cos2ωx+=（1+cos2ωx）+=sin（2ωx+sin2ωx﹣

sin2ωx﹣（ω＞0）的图象上相邻的最高点间的sin2ωx﹣）……………（2分）

）；………………（3分）

因为函数f（x）图象上相邻的两最高点间的距离是π，所以T=π；

由T==π，且ω＞0，解得ω=1，…………………（5分）

）；………………（6分）

所以f（x）=sin（2x+（II）由sinAsinC﹣sin2C=sin2A﹣sin2B得：

ac﹣c2=a2﹣b2，即a2+c2﹣b2=ac，…………………（7分）

∴cosB=

又B∈（0，

==，

；……………（8分）

第19页（共28页）

），∴B=

∴锐角三角形ABC中，A∈（∴＜2A+＜，

，），……………（10分）

∴﹣＜sin（2A+）＜1，…………………（12分）

∴f（x）的取值范围是（﹣，1）．……………………（13分）

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．

19．在△ABC中，C=60°，BC=2AC=2（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若点D在BC边上，且sin，求CD．

．

【分析】（1）利用余弦定理求得AB的值，再利用勾股定理判断△ABC是直角三角形；

（2）根据三角形内角和定理与正弦定理，利用三角恒等变换求得CD的长．

【解答】解：（1）证明：△ABC中，C=60°，，，

由余弦定理，得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=9，…（2分）

解得AB=3，…（3分）

所以AC2+BC2=AB2，

所以AB⊥AC，…（5分）

所以A=90°，

所以△ABC是直角三角形；…（6分）

（2）如图所示，

设∠BAD=α，则，

∠DAC=90°﹣α，0°＜α＜90°，

所以，…（8分）

在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=180°﹣（90°﹣α）﹣60°=α+30°，

sin∠ADC=sin（α+30°）

=sinαcos30°+cosαsin30°

第20页（共28页）

=由正弦定理得，所以，…（10分）

，

…（12分）

【点评】本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．

20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；

（2）已知=4，△ABC的面积为6，求边长b的值．

=．

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得sinB的值，从而求得B的值；

（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得a的值，再由余弦定理求得b的值．

【解答】解：（1）锐角△ABC中，∴bcosA+acosB=bsinC，

sinBsinC，

=，

由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=∴sin（A+B）=sinBsinC，

又sin（A+B）=sinC≠0，

∴sinB=又0＜B＜∴B=；

=4，

第21页（共28页）

，

，

（2）由

利用正弦定理得=c=4；

，

=6，

又△ABC的面积为6∴acsinB=a×4sin解得a=6；

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB=62+42﹣2×6×4×cos解得b=2．

=28，

【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．

21．在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB+bsinB=c．

（1）求角C；

（2）若B=，延长线段AB至点D，使得CD=，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，结合三角形内角和定理求得C的值；

（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理和三角形的面积公式求得线段BD的值．

【解答】解：（1）△ABC中，且acosB+bsinB=c，

由正弦定理得，sinAcosB+sinBsinB=sinC，

∴sinAcosB+sin2B=sin（A+B），

∴sinAcosB+sin2B=sinAcosB+cosAsinB，

∴sin2B=cosAsinB，

B为锐角，∴sinB＞0，

∴sinB=cosA，

∴A+B=∴C=，

；

，则A=，

，如图所示，

第22页（共28页）

（2）若B=延长线段AB至点D，使得CD=

∴CD2=AC2+AD2﹣2AC•AD•cos设AD=x，由AC=b，

∴3=b2+x2﹣2×b×x×△ACD的面积为

•b•x•sin∴bx=3=，

，

…①，

…②，

，x=3或b=3，x=；

由①②解得b=当b=，x=3时，AB=2，BD=1；

时，不满足题意；

当b=3，x=综上，线段BD=1．

【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与三角形内角和定理，是综合题．

22．如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC=120°，AB=3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD=1．

（Ⅰ）求sinA；

（Ⅱ）求△BCD的面积．

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和正弦定理即可求得sinA的值；

（Ⅱ）由三角恒等变换和正弦定理以及三角形的面积公式求得△BCD的面积．

第23页（共28页）

【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2﹣2AB×BD×cos∠ABD=9+1﹣2×3×1×=7，

所以AD=；…3分

==，

=；…6分

=×，

；…7分

﹣×=；…8分

由正弦定理得所以sinA=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cosA=在△ABC中，sinC=sin（120°+A）=在△BCD中，由正弦定理得所以BC==；…10分

=所以△BCD的面积为

S=×BD×BC×sin∠CBD=×1××=．…12分

【点评】本题考查了解三角形的知识与应用问题，是中档题．

23．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．

=．

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，结合三角形内角和定理求得B的值；

（Ⅱ）根据正弦定理与三角形面积公式，结合余弦定理，列方程组求得a、c的值．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理得∴∴由正弦定理得又A+C=π﹣B，

第24页（共28页）

，……………1分

，

；……………3分

，

∴2cosBsinB=sinB，

又sinB≠0，

∴；……………5分

；……………6分

，

∵B∈（0，π），所以（Ⅱ）∵∴b=3，……………7分

由面积公式得即ac=6①；……………9分

，

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，

得b2=a2+c2﹣6=9，

即a2+c2=15②；……11分

由①②解得：又c＞a，所以a=或，c=2，

．……………12分

【点评】本题考查了三角形的内角和定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．

24．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，2sinA=sinC．

（Ⅰ）求c的长；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理求得c的值；

（Ⅱ）利用二倍角公式求出cosC的值，

解法一：利用三角形内角和与三角恒等变换求出sinA、sinC、cosA和sinB的值，再求△ABC的面积．

解法二：由余弦定理求得b的值，再计算△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，a=2，2sinA=sinC，

由正弦定理得，=，

第25页（共28页）

∴c=（Ⅱ）若==4；

，则2cos2C﹣1=﹣，

∴cos2C=，

又△ABC为锐角三角形，

∴0＜C＜解得cosC=，

，

=；

解法一：∴sinC=又2sinA=sinC，

∴sinA=，cosA=，

∴sinB=sin[π﹣（A+C）]

=sin（A+C）

=sinAcosC+cosAsinC

==×，

+×

∴△ABC的面积为

S△ABC=acsinB=．

解法二：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，

即b2﹣解得b=2b﹣12=0，

或b=﹣（不合题意，舍去），

．

∴△ABC的面积为S△ABC=absinC=【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题．

25．在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1

（1）求角A的大小；

第26页（共28页）

（2）若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值．

【分析】（1）由二倍角公式化简cos2A=3cos（B+C）+1，

解方程求得cosA的值，由此得出角A的值；

（2）利用正弦、余弦定理求得b、c的值．

【解答】解：（1）由cos2A=3cos（B+C）+1得，

2cos2A+3cosA﹣2=0，

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去），

因为A为三角形的内角，所以A=（2）由（1）知cosA=，

又sinC=2sinB，∴c=2b；

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴9=b2+4b2﹣2b•2b•，

解得b=∴c=2；

．

；

【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合题．

26．在△ABC中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且c=2．

（1）若（2）若s的值．

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理，即可求得sinC；

（2）由题意，利用降幂公式和正弦定理，结合三角形的面积公式，即可求得a、b的值．

【解答】解：（1）△ABC中，c=2，由余弦定理得，

a2=b2+c2﹣2bccosA=9+4﹣2×3×2×cos

，b=3，求sinC的值；

，且△ABC的面积，求a和b，b=3；

=7，

第27页（共28页）

解得a=；…（3分）

=，

由正弦定理得sinC=（2）由降幂得sinA•=；…（6分）

，

+sinB•=3sinC，

化简得sinA+sinB=5sinC，…（8分）

即a+b=5c=10①；

又S=absinC=sinC，

得ab=25②；…（10分）

由①②解得a=b=5．…（12分）

【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形的面积公式应用问题，是综合题．

第28页（共28页）