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正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)。

【要点梳理】

要点

一：周期函数的定义

函数yf(x)，定义域为I，当xI时，都有f(xT)f(x)，其中T是一个非零的常数，则yf(x)是周期函数，T是它的一个周期. 要点诠释：

1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(xT)f(x)或只差个别的x值不满足f(xT)f(x)都不能说T是yf(x)的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点

二：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数

正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域

值域

奇偶性

周期性

R [-1，1] 奇函数

最小正周期2

增区间

单调区间

k∈Z

R [-1，1] 偶函数

最小正周期2

[2k2，2k]2

增区间2k，2k

减区间2k，2k

减区间

[2k最值点

k∈Z

对称中心

k∈Z 对称轴

k∈Z 要点诠释：

2，2k最大值点(2k最小值点(2k3]2

,1)

22最大值点2k，1

最小值点

,1)

2k,1

(k0

k，xk2,0)

2

xk

（1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

应先将ysin(x)变换为ysinx再求解，相当于求ysinx的单调ysin(x)的单调递增区间时，递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。

要点

三：正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)(A,0)的性质。

函数yAsin(x)与函数yAcos(x)可看作是由正弦函数ysinx，余弦函数ycosx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数ysinx，余弦函数ycosx类似地得到：

（1）定义域：R

（2）值域：A,A

（3）单调区间：求形如yAsin(x)与函数yAcos(x)(A,0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数ysinx，余弦函数ycosx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由2k2232kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间。

22

x2k(kZ)解出x的范围所得区间即为增区间，由（4）奇偶性：正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)(A,0)不一定具备奇偶性。对于函数yAsin(x)，当k(kz)时为奇函数，当k对于函数yAcos(x)，当k(kz)时为偶函数，当k要点诠释：

判断函数yAsin(x)，yAcos(x)的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。

（5）周期：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T2(kz)时为偶函数；2(kz)时为奇函数。

2。

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数ysinx比较可知，当xk2(kz)时，函数yAsin(x)取得最大值（或最小值），因此函数yAsin(x)的对称轴由xk2(kz)解出，其对称中心的横坐标kxk(kz)，即对称中心为,0(kz)。同理，yAcos(x)的对称轴由

xk(kz)解出，对称中心的横坐标由xk要点诠释：

2(kz)解出。

若xR，则函数yAsin(x)和函数yAcos(x)不一定有对称轴和对称中心。

【典型例题】

类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域

例1．求函数y2sin2xcosx1的定义域；

【解析】

为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。

1cosx1。

2

∴定义域为x2k

22x2k,kZ。

33【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。

举一反三：

【变式1】求函数ylgsin(cosx)的定义域. 【解析】由sin(cosx)02kcosx2k(k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1. 故所求定义域为2k2，2k. 2【变式2】已知f(x)的定义域为［0，1)，求f(cosx)的定义域. 【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角. 【解析】0≤cosx＜12k∴所求函数的定义域为[2k例2．求下列函数的值域：

（1）y=|sin x|+sin x；

（2）y2sin2x2x2k2，且x2kkZ. ，2k)(2k，2k]，kZ. 223，x,；

66

（3）ycosx2。

cosx1【解析】

（1）∵y|sinx|sinx2sinx (sinx0)，

0 (sin0)2。

3又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。

（2）∵6x6，∴02x3∴0sin2x。∴102sin2x2，

33∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。

cosx2cosx1111，

cosx1cosx11cosx13当cos x=－1时，ymin1，

22（3）∵y∴函数的值域为,。

【总结升华】

一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。

举一反三：

【变式1】求函数y=3sin2x－4sin x+1，x32,的值域。

3【答案】,1

1321【解析】y3sinx4sinx13sinx，

3322令t=sin x，因为x2,，所以t∈[0，1]，

3121y3t，t∈[0，1]，所以y,1。

333类型二：正弦函数、余弦函数的单调性

例3．求下列函数的单调递增区间：

（1）y12x（2）ylog1sinx。

sin；243212xsin再求之（2）这个函数是复合函数，复合函234 【思路点拨】（1）要将原函数化为y数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。

【解析】（1）y12x12xsinsin. 243234故由2kπ-π2xππ≤-≤2kπ+. 23423kπ-由2kπ+3π9π≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；

88π2xπ3π≤-≤2kπ+. 23429π21π≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间. 883π9π，3kπ+］，

883kπ+∴递减区间为［3kπ-递增区间为［3kπ+9π21π，3kπ+］(k∈Z). 88（2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。

∵11，∴函数ylog1sinx的递增区间即为u=sin x的递减区间，

22∴2k2x2k（k∈Z）。

故函数ylog1sinx的递增区间为2k2。

,2k（k∈Z）2【总结升华】（1）求函数yAsin(x)的单调区间时，应由2k∈Z）或2k2x2k2（k3x2k（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元22法的应用。

（2）求单调区间应在定义域内求解。

举一反三：

【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：

【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+减区间为［kπ-，kπ+］. 【变式2】三个数cosπ4π4π43π］，

4π4π4317，sin，cos的大小关系是（

）

2410317371cos

B．coscossin

A．cossin21042410317731cos

D．coscossin

C．cossin21044210【答案】C 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性

例4．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)sin3x342；

1sinxcos2x（2）f(x)。

1sinx（3）f(x)lg(sinx1sin2x)。

【解析】（1）∵x∈R，f(x)sin∴f(x)cos3x3243x，

cos43(x)3xcosf(x)，

44∴函数f(x)sin3x342为偶函数。

（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴x2k∴原函数的定义域不关于原点对称，

2（k∈Z），

1sinxcos2x∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

1sinx（3）函数定义域为R。

f(x)lg(sinx1sin2x)lg1sinx1sin2xlg(sinx1sin2x)f(x)，

∴函数f(x)lg(sinx1sin2x)为奇函数。

【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

举一反三：

【变式】关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f(x)是奇函数；

④对任意的，f(x)都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】

当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数.

当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)sinx仍是奇函数. 当=2kπ+，k∈Z时，f(x)=cosx，

2，k∈Z时，f(x)=-cosx，f(x)都是偶函数. 2当=2kπ-所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z) 22类型四：正弦函数、余弦函数的对称性

【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】

例5．指出下列函数的对称轴与对称中心

（1）ysin(x4)；（2）ycos(2x3). 【解析】（1）令tx4，则y3sinxtk的对称轴方程是（k∈Z），即3sint24x4k2（k∈Z），解得xk4（k∈Z）。

∴函数ysinx4的对称轴方程是xk4（k∈Z）。

同理，对称中心的横坐标为x4k，xk4，即对称中心为k,0。

4（2）令t2x3，则y3sin2xtk2xk（k的对称轴方程是（k∈Z），即3sint33∈Z），解得xk（k∈Z）。

26∴函数ysin2x3的对称轴方程是xk（k∈Z）。

26 同理，对称中心的横坐标为2x∈Z）。

举一反三：

3k2，xk5k5，即对称中心为,0（k212212【变式1】若f(x)sinxacosx的图象关于直线x6对称，则a=________。

【答案】3

【变式2】已知函数f(x)asinxbcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线x则函数yf4对称，3x是（

）

4

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点3,0对称

23,0对称

2C．奇函数且它的图象关于点D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

【答案】

D 【解析】

由题意知f(x)的图象关于x4对称，∴f(0)f。

2∴a=－b，f(x)2asinx。

4∴f3x2asin(x)2asinx。

4∴f3x为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。

4类型五：正弦函数、余弦函数的周期

例6．求下列函数的周期。

（1）ysin3x3（2）ycos2x；。

62；对于（2），应借助函数ycos2x的周||6【思路点拨】

对于（1），可直接利用公式T期及函数图象得到周期。

【答案】（1）2（2）

322。

3【解析】

（1）∵ω=3，∴T（2）∵函数ycos2x6的周期为π，而函数ycos2x的图象是将函数6ycos2x的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可6

知所求函数的周期为T2。

【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数yAsin(x)或yAcos(x)（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：T2求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象||得到，如函数y2sin2x3的周期为T2，而函数y2sin2x1的周期为π，与函数3（3）利用周期函数的定义求函数周期。

y2sin2x1的周期相同；3举一反三：

【变式1】已知函数f(x)sin(k24x)，使f (x)的周期在(,)内，求正整数k . 3433【答案】k|15k28,kN

26426

，k3k3k39k9，所以k15,16,17,18,28

解得2【解析】

T

所以k的取值为k|15k28,kN

类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用

例7．已知f(x)是定义在实数集上的函数，且对任意x都有f(x2)[1f(x)]1f(x)。

（1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(1)23，试求f(2011)的值。

【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即f(xT)f(x)，T就是周期。

【答案】（1）略（2）3

【解析】

（1）证明：由已知f(x2)[1f(x)]1f(x)，∴f(x2)1f(x)。

1f(x)11f(x2)1∴f(x4)f[(x2)2]1f(x2)1111∴f(x8)f[(x4)4]f(x)1f(x)。

f(x)f(x)f(x)1f(x)，即f(x8)f(x)。

f(x4)

∴f(x)是以8为周期的函数。

（2）∵f(1)23。

由f(x2)[1f(x)]1f(x)f(3)1f(1)333，

1f(1)(13)∴f(2011)f(25183)f(3)3。

【总结升华】（1）证明函数yf(x)是周期函数：一可利用定义f(xT)f(x)（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T≠0）为f(x)的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。

（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（n∈Z，T为周期），则f(x1)f(x2)。

举一反三：

6cos4x5cos2x1【变式1】已知函数f(x)=，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值cos2x域. 【解析】由cos2x≠0得2x≠kπ+2，解得x≠k，k∈Z，

24k所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，

24因为f(x)的定义域关于原点对称，

6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f(x)==f(x). cos(2x)cos2x所以f(x)是偶函数. 又当x≠k(k∈Z)时，

246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)f(x)=3cos2x1. cos2xcos2x所以f(x)的值域为{y|-1≤y<11或

22