2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计1

平面向量的正交分解及其坐标表示

目标：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

1 新知识·预习探究

知识点一

平面向量的正交分解

阅读教材P94最后一段～P95“思考”以上内容，完成下列问题．

把一个向量分解为

的向量，叫做把向量正交分解．

【练习1】

如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是正交分解的是(

) →→→A.AB＝OB－OA

→→→B.BD＝AD－AB

→→→C.AD＝AB＋BD

→→→D.AB＝AC＋CB

答案：B 知识点二

平面向量的坐标表示

阅读教材P95“思考”及以下内容，完成下列问题．

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序实数对

叫做向量a的坐标，记作a＝

，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

【练习2】

i，j，O的坐标分别是什么？与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

答案：i＝(1,0)，j＝(0,1)，O＝(0,0)．与x轴平行的向量的纵坐

2 新视点·名师博客

对平面向量坐标的几点认识：

→→(1)设OA＝xi＋yj(O为坐标原点)，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标→就是向量OA的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．

(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．

(4)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y). 3 新课堂·互动探究

考点一

平面向量的坐标表示

例1在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．

分析：题目中给出了向量a、b、c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标．

解析：设a＝(x1，y1)，

则x1＝2·cos45°＝2，y1＝2·sin45°＝2，

∴a＝(2，2)．

设b＝(x2，y2)，

333则x2＝3·cos120°＝－，y2＝3·sin120°＝，

22333∴b＝－，. 22设c＝(x3，y3)，

x3＝4·cos330°＝23，y3＝4·sin330°＝－2，

∴c＝(23，－2)．

点评：向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，从以下两个方面考虑：一是相等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．

→→→→变式探究1

(1)如图所示，在正方形ABCD中，O为中心，且OA＝(－1，－1)，试求OB、OC、OD的坐标．

→→(2)已知点O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，求向量OA的坐标．

→→解析：(1)OC＝－OA＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)．

由正方形的对称性得B(1，－1)，

→→∴OB＝(1，－1)，同理OD＝(－1,1)．

(2)如图所示，利用三角函数的定义，可得：

yxsin60°＝，cos60°＝，

→→|OA||OA|→3所以y＝|OA|·sin60°＝43×＝6，

2→1x＝|OA|·cos60°＝43×＝23，

2∴A(23，6)，

→∴OA＝(23，6)．

4 新思维·随堂自测

→1.若A(1,3)，B(2,1)，则BA的坐标是(

) A．(－1,2)

B．(2，－1) C．(1，－2)

D．(－2,1) 答案：A 132．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于(

) 22A．(－2，－1)

B．(－2,1)

C．(－1,0)

D．(－1,2) 答案：D →3．已知向量a＝(x＋3，x－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为(

) A．－1

B．－1或4 C．4

D．1或－4 →→解析：∵AB＝(2,0)，又∵a＝AB，

x＋3＝2∴2，∴x＝－1. x－3x－4＝0答案：A 4．设a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，若c＝pa＋qb，则实数p，q的值为(

) A．p＝4，q＝1

B．p＝1，q＝4 C．p＝0，q＝4

D．p＝1，q＝－4 解析：利用坐标相等列方程组求解．

答案：B →→→5．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈R，则x＝__________. →→→解析：取O(0,0)，由OC＝λOA＋(1－λ)OB得，

(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，

1λ＝－2，x＝－λ＋1－λ，∴解得

5＝－λ＋31－λ.x＝2.答案：2 5 辨错解·走出误区

易错点：误把向量的坐标当作点的坐标

→→→【典例】

已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围．

→→→【错解】

由已知得AP＝AB＋λAC＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

3＋5λ＜0，又点P在第三象限，∴

1＋7λ＜0，33－∞，－. ∴λ＜－，故λ的取值范围为55→【错因分析】

错解中误把向量AP的坐标当作P点的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念．

→【正解】

同错解得AP＝(3＋5λ，1＋7λ)，

→又设点P(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)．

于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

x－2＝3＋5λ，即

y－3＝1＋7λ.2

x＝5＋5λ＜0，又点P在第三象限，所以

y＝4＋7λ＜0，

解得λ＜－1. 所以λ的取值范围为(－∞，－1)．

【反思】

向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向相对于x轴正方向的转角，与始点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．