探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学实录与评析

人教A版必修四

三角函数模型的简单应用

教学设计

吴忠中学：李军

[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

[知识链接] 1．数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？

答

简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．

2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？

答

解决问题的一般程序是：

1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；

2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；

3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；

4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答．

[预习导引] 1．三角函数的周期性

2πy＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；

|ω|2πy＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；

|ω|πy＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝. |ω|2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质

(1)ymax＝A＋k，ymin＝－A＋k. ymax－yminymax＋ymin(2)A＝，k＝. 222π(3)ω可由ω＝确定，其中周期T可观察图象获得．

Tπ3(4)由ωx1＋φ＝0，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．

223．三角函数模型的应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、

预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

要点一

三角函数图象的应用

例1 作出函数y＝|cos x|，x∈R的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间．

解

y＝|cos x| ππcos x，x∈－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)，22＝π＋2kπ，3π＋2kπ(k∈Z).－cos x，x∈22

作出函数y＝cos x的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，如图

由图可知，y＝|cos x|是偶函数，T＝π，

π单调递增区间为－＋kπ，kπ(k∈Z)，

2π单调递减区间为kπ，＋kπ(k∈Z)．

2规律方法

翻折法作函数图象

(1)要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”．

(2)要得到y＝f(|x|)的图象，只需将y＝f(x)的图象在y轴左边的部分沿y轴翻折到右边，即“左翻右”，同时保留右边的部分．

跟踪演练1 作出函数y＝sin|x|的图象并判断其奇偶性．

解

∵sin(－x)＝－sin x，

sin x，x≥0，∴y＝sin|x|＝－sin x，x<0.

其图象如图．

由图知，y＝sin|x|是偶函数．

要点二

应用函数模型解题

例2 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．

π(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt2＋φ)的解析式；

1(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小150正整数值是多少？

解

(1)由图知A＝300，设t1＝－则周期T＝2(t2－t1)＝22π∴ω＝＝150π. T11又当t＝时，I＝0，即sin150π·＋φ＝0，

180180ππ而|φ|<，∴φ＝. 26π故所求的解析式为I＝300sin150πt＋. 612π1(2)依题意，周期T≤，即≤(ω>0)，

150ω150∴ω≥300π>942，又ω∈N，

故所求最小正整数ω＝943. 规律方法

例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．

跟踪演练2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由π下面的函数关系式表示：h＝3sin2t＋. 4(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；

(3)经过多长时间小球往返振动一次？

(4)每秒内小球能往返振动多少次？

π32解

(1)令t＝0，得h＝3sin＝，

42*11，t2＝，

9001801＋1＝1. 1809007532所以开始振动的位置为0，. 2ππ(2)由题意知，当h＝3时，t＝，即最高点为，3；

88

5π5π当h＝－3时，t＝，即最低点为，－3. 882π(3)T＝＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．

21(4)f＝≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．

T要点三

构建函数模型解题

例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：

t(时) y(米) (1)试在图中描出所给点；

(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

0 1.0 3 1.4 6 1.0 9 0.6 12 1.0 15 1.4 18 0.9 21 0.5 24 1.0

解

(1)描出所给点如图所示：

(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．

令A>0，ω>0，|φ|<π. 2ππ由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝. T6π把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin(t＋φ)＋1，得φ＝0. 6故所求拟合模型的解析式为

πy＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．

6ππ1(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，

662

ππt7π则－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，

666即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0,24]，

所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．

规律方法

数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化．

处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：

1．根据原始数据给出散点图．

2．通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．

3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．

4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

跟踪演练3 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：

t(小时) y(米)

0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B的图像．

(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间) 解

(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，

2ππ因此ω＝＝. T6又ymin＝7，ymax＝13，

1∴A＝(ymax－ymin)＝3，

21B＝(ymax＋ymin)＝10. 2∴函数的解析式为

πy＝3sint＋10 (0≤t≤24)．

6(2)由题意，水深y≥4.5＋7，

π即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，

6π5ππ1π∴sint≥，t∈2kπ＋，2kπ＋，k＝0,1，

66626∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，

所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

1．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内(

) A．没有根 C．有且仅有两个根 答案

C 2.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(

) B．有且仅有一个根

D．有无穷多个根

答案

C l解析

d＝f(l)＝2sin . 23．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，πω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据2以上条件可确定f(x)的解析式为___________________________________．

ππ答案

f(x)＝2sin x－＋7 44

A＋B＝9，解析

由条件可知－A＋B＝5，

∴B＝7，A＝2. 又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝πππ，令3×＋φ＝，

442πππ得φ＝－，∴f(x)＝2sinx－＋7. 4444．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 2ππ解

(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，故在t s时，此人相3015π对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．

15π(2)由10sint＋12≥17，

15π1得sint≥，

152525则≤t≤. 22故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．

2．三角函数模型构建的步骤

(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．

(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．

(3)利用三角函数模型解决实际问题．

(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．

一、基础达标

1．动点A(x，y)在圆x＋y＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，13点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是22(

) A．[0,1] C．[7,12] 答案

D 2ππ解析

∵T＝12，∴ω＝＝，

126π从而设y关于t的函数为y＝sin(t＋φ)．

6又∵t＝0时，y＝3πππ，∴可取φ＝，∴y＝sin(t＋)，

2363B．[1,7] D．[0,1]和[7,12] 22ππππ∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，

2632即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，函数递增．

∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．

2．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由t函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内2车流量是增加的(

) A．[0,5] C．[10,15] 答案

C πtπ解析

由－＋2kπ≤≤＋2kπ得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π. 2223．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有fA．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3 答案

D πππ解析

因为f＋x＝f－x，所以直线x＝是函数f(x)图象的对称轴．

666πππ所以f＝3sinω＋φ＝3sinkπ＋＝±3.

266B．[5,10] D．[15,20] π＋x＝fπ－x，则fπ等于(

) 666π4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x－6) (x＝61,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，

则10月份的平均气温值为(

) A．20.5℃ C．19.5℃ 答案

A a＋A＝28，解析

由题意得a－A＝18，B．21.0℃

D．21.5℃

a＝23，

∴A＝5，

π∴y＝23＋5cos(x－6)，

61当x＝10时，y＝23＋5×－＝20.5. 2mπ235．函数y＝2sinx＋的最小正周期在，内，则正整数m的值是________．

3334答案

26,27,28 6π26π3解析

∵T＝，又∵<<，

m3m4∴8π

nn2π(1)函数y＝sin 3x在[0，]上的面积为________；

3π4π(2)函数y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积为________．

3342答案

(1)

(2)π＋

33解析

(1)取n＝3，由已知，函数y＝sin 3x在[0，π22π]上的面积为.∵函数y＝sin 3x的周期为，∴333π2π22π4函数y＝sin 3x在(，)上的面积也是，∴函数y＝sin 3x在[0，]上的面积为. 33333π4π(2)y＝sin(3x－π)＋1＝－sin 3x＋1，作这个函数在区间[，]上的图象如图所示：

33

2π4π由(1)知S1＝S2＝S3＝，直线x＝，x＝，y＝1及x轴所围成的矩形面积为π.将S2割下补在S3处，333

2则图中阴影部分的面积为π＋，

3π4π2∴函数y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积为π＋. 3337．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＋φ)＋b. (1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解

(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.

(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，

11∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40. 2212πππ∵×＝14－8，∴ω＝.∴y＝10sinx＋φ＋40. 2ω66π将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝. 6ππ∴所求解析式为y＝10sinx＋＋40，x∈[8,14]．

66二、能力提升

x8．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的(

) sin x＝Asin(ωx

答案

C x解析

y＝是偶函数，排除A；

sin xππ当x＝时，y＝＝>1，排除B、D. 6π3sin6

π6

π9．已知某种交流电电流I(A)随时间t(秒)的变化规律可以用函数I＝52sin100πt－表示，t∈[0，2＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次．

答案

25 2π1解析

周期T＝＝(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次．

100π50710．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t＝秒时的电流120强度为______安培．

答案

0 1πω＋φ＝3002解析

根据图象得A＝10，由43ω＋φ＝π3002ω＝100π∴πφ＝6当t＝

，

π，∴I＝10sin100πt＋. 67秒时，I＝10sin 6π＝0. 12011．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．

πt答案

10sin

60解析

将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，

ππt可得ω＝，所以d＝10sin . 606012．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

解

(1)如图所示建立直角坐标系，

π设角φ－<φ<0是以Ox为始边，OP0为终边的角．

2OP每秒钟内所转过的角为

5×2ππ＝. 606π则OP在时间t(s)内所转过的角为t. 6由题意可知水轮逆时针转动，

得z＝4sinπt＋φ＋2. 61π当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 26ππ故所求的函数关系式为z＝4sint－＋2. 66ππ(2)令z＝4sint－＋2＝6，

66得sinπt－π＝1，令πt－π＝π，得t＝4，

66626故点P第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与创新

13．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

解

(1)由表中数据知周期T＝12，

2π2ππ∴ω＝＝＝，

T126由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5. 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0. 1π∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1. 26(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，

1π∴cos t＋1>1，

26ππππ∴cos t>0，∴2kπ－

∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，

得0≤t<3或9