探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学设计

正弦函数、余弦函数的图象的教学设计

一、

教材分析

本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修四第一章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。本节课的教学是以之前的任意角的三角函数，三角函数的诱导公式的相关知识为基础，为之后学习正弦型函数

yAsin(wx)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。

二、

学情分析

学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线。能够理解正弦函数和余弦函数的作图方法，但是在对准确图象特征的把握上，尚需要老师的进一步指导。

三、

教学重难点

教学重点：正弦余弦函数图象的做法及其特征

教学难点：正弦余弦函数图象的做法，及其相互间的关系

四、

教学目标

1.

知识与技能目标

（1）

通过动画观察，理解用平移法作余弦函数的图象，正弦函数、余弦函数的图象及特征，掌握“五点法”，能画出画正弦函数、余弦函数的简图。

（2）

利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系。

2.

过程与方法目标

通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系，会用数形结合方法在分析问题和解决问题。

3.

情感态度价值观目标

养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识，激发数学的学习兴趣

五、

教学过程

一、

情景引入

师：思考：满足方程sinxx的x有几个？

生：有一个，x0

师：只有一个吗？你们如何确定的？带着问题，我们进入今天的学习内容，正余弦函数的图象

设计意图：让学生发现光靠诱导公式，有时候解决不了某些问题，需要借助函数的图象来研究

二、新课讲解

师：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而确定的角又有着唯一确定的正弦（或余弦）值。

这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx（cosx）与之对应，有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R。

遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？

我们先来做观察简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢

【设计意图】通过观察实验，体会数学与其他的联系，激发学习兴趣。

【思考】正弦函数y=sinx的图象

下面我们就来一起画这个正弦函数的图象

师：我们绘画函数图象的基本步骤是什么？

生：画图、描点、连线。

（动画演示）

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. 第二步：在单位圆中画出对应于角0,，，,…，2π的正弦线正弦线.632把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点第三步：连线.用光滑曲线把这些

正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

【设计意图】通过观察画图，体会如何画正弦函数的图象。

根据诱导公式一相等，所以函数y=sinx,x2k,2k1kZ的图象，与函数y=sinx，x0,2的图象的形状完全一致。于是我们只要将图象平移就可以得到ysinxxR的图象。

【设计意图】由三角函数值的关系，得出正弦函数的整体图象。

把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cosxsin(x),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移22

单位即得余弦函数y=cosx的图象. y1-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinxy=cosx23456x

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？

【设计意图】通过问题，为下面五点法绘图方法介绍做铺垫

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

师：是不是每次作图都需要把12个点都画出来呢？能不能找几个关键点，减少作图的时间？

师：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，

五个关键点是：(0,0) (3,1) (,0) (,-1) (2,0) 22师：余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？

(0,1) (3,0) (,-1) (,0) (2,1) 22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图．

3、

讲解范例

例1 作下列函数的简图

(1)y1sinx

x0,2 （2）ycosxx0,2

【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画图。

【探究1】．

如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、

翻转等）来得到y1sinx

x0,2

的图象；

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

【探究2】

如何利用ycosxx0,2的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到ycosxx0,2的图象？ 小结：这两个图像关于x轴对称。

【当堂巩固】

1、画出函数y1cosx,x[0,2]的简图。

解：按5个关键点列表：

x

cosx

1cosx

y

o x 2、画出函数y2sinx,x0,2的简图。

x

sinx

2sinx

y

【归纳思考】． 如何利用ysinxx0,2的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y2sinx,x0,2的图象？

小结：先作

ysinx图象关于x轴对称的图形，得到

ysinx的图象，

再将ysinx的图象向上平移2个单位，得到

y2sinx

的图象。

【探究3】ycosx,x[

o x 32,2

y

]

x

o cosx

x

【设计意图】五个关键点有时候并不是一定都取固定的五个。

【探究4】 3不用作图，你能判断函数ysinx2和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin(x33)sinx2sinxcosx

222这两个函数相等，图象重合。

【设计意图】通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。

【解答】满足方程sinxx的x有几个？

通过作图，我们可知，有且只有一个，就是x0

4、

小结作业

对本节课所学内容进行小结

【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。

布置分层作业

基础题A题，提高题B题

【设计意图】将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。