探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优秀公开课教案

课题：利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

教学目的：

1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

教学重点：正、余弦函数的性质

教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．

正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，作x轴的垂线，垂足为M，则有

y)，过PsinyxMP，cosOM

rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

2.函数ysinx,x0,2图象的几何作法

用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：

作单位圆并等分——作正弦线——平移得点——连线

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = cosx

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R

y＝cosx，x∈R

(2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R

＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

2②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

2①当且仅当x＝而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

(3)周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx

(k∈Z)知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

(4)奇偶性

由sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx

可知：y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

(5)单调性

从y＝sinx，x∈［－当x∈［－32,2］的图象上可看出：

，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

223当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

22结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在223＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

22余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

例1

求使下列函数取得最大、最小值的自变量x的集合，并说出最大、最小值是什么

(1)y＝cosx＋1，x∈R；

(2)y＝—3sin2x，x∈R

解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝

函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。

使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝

函数y＝cosx＋1，x∈R的最小值是-1＋1＝0。

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝

2由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ

24即

使函数y＝—3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x｜x＝函数y＝—3sin2x，x∈R的最小值是—3。

＋kπ，k∈Z｝

4同理，使函数y＝—3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝—函数y＝—3sin2x，x∈R的最大值是3。

例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小. ＋kπ，k∈Z｝

4(1)sin与sin

18102317(2)cos与cos54解：（1）0，且正弦函数y=sinx在区间,0上是增函数

22108sinsin

1018（2）

3323coscoscos55

51717coscoscos4440430，且正弦函数y=cosx在区间0,上是减函数

53cos

cos

451723

cossin45小结：正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性