探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计及课堂实录

课

堂

教

学

设

计

课题:第4讲

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

授课时数： 1课时 主讲人：肖龙莲

设计要素

知识与

技能

教学

目标

过程与

方法

情感态度价值观

设计内容

函数y＝Asin(ωx＋φ)中A，ω，φ物理意义,性质及对图像图象变化的影响和图像性质的应用。

了解函数y＝Asin(ωx＋φ)中A，ω，φ物理意义,掌握三角函数的性质应用，理解对图像图象变化的影响和图像性质的应用之间的关系。

培养学生数形结合及分类讨论的数学思想。

教材通过知识梳理，典例讲解，到达会解题的策略

三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对教

学

分

析

教学重点

称性、最大、小值等性质的应用

教学难点

学情分析

学法指导

三角函数的性质综合应用

学生基础基础知识不错，只要加强解题方法的渗透

会作图、看图、识图等到达数形结合

教学内容

补充修订

教材内容分析

第4讲

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

最新考纲

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

知

识

梳

理

1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示.

1

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义

当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：

简谐振动

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)

振幅

A

周期

频率

1f＝T

相位

ωx＋φ

初相

φ

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

π(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移4个单位长度后所得图象的解析式是y＝π3sin2x＋.(

) 4(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(

) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间T的距离为2.(

) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(

) π解析

(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.

(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长

2

度为|φ|ω.故当ω≠1时平移的长度不相等. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

π2.y＝2sin2x－的振幅、频率和初相分别为(

) 4A.2，C.2，π1，－4

π

B.2，π1，－4

2ππ1，－8

2ππ1，－8

πD.2，答案

A π13.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin2x＋的图象向右平移4个周期后，所得图象对6应的函数为(

) πA.y＝2sin2x＋

4πC.y＝2sin2x－

4πB.y＝2sin2x＋

3πD.y＝2sin2x－

3ππ1解析

函数y＝2sin2x＋的周期为π，将函数y＝2sin2x＋的图象向右平移4个66ππππ周期即4个单位，所得函数为y＝2sin2x－＋＝2sin2x－，故选D. 346答案

D 4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________. 解析

在同一直角坐标系中，作出y＝cos x与y＝sin 2x在区间[0，3π]上的图象(如图).

由图象知，两图象共有7个交点. 答案

7 5.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，

3

则这段曲线的函数解析式为________. 12π解析

从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又2×ω＝14－6，

π1所以ω＝8.由图可得A＝2(30－10)＝10，

π3π1b＝2(30＋10)＝20.又8×10＋φ＝2π，解得φ＝4，

π3π∴y＝10sinx＋＋20，x∈[6，14].

483ππ答案

y＝10sinx＋＋20，x∈[6，14] 48

考点一

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

【例1】

设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到. 解

f(x)＝sin ωx＋3cos ωx

π13＝2sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋，

322又∵T＝π，∴2π＝π，

ωπ即ω＝2，∴f(x)＝2sin2x＋. 3π(1)令z＝2x＋3，

π则y＝2sin2x＋＝2sin z. 3列表，并描点画出图象：

x z y＝sin z π－6

0

0

π12

π2

1

π3

π

0

7π12

3π2

－1

5π6

2π

0

4

πy＝2sin2x＋

30

2

0

－2

0

ππ(2)法一

把y＝sin x的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y＝sinx＋的图31π象；再把y＝sinx＋的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到3ππy＝sin2x＋的图象；最后把y＝sin2x＋上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍33π(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋的图象. 31法二

将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，得到yππ＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移6个单位，得到y＝sin 2x＋＝6ππsin2x＋的图象；再将y＝sin2x＋的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍33π(横坐标不变)，得到y＝2sin2x＋的图象. 3规律方法

作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设π3z＝ωx＋φ，由z取0，2，π，2π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

π【训练1】

设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－＜φ＜0的最23π小正周期为π，且f＝2. 4(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.

5

2π解

(1)∵T＝＝π，ω＝2，

ωπ33π又f＝cos2×＋φ＝2，∴sin φ＝－2，

44ππ又－2＜φ＜0，∴φ＝－3. π(2)由(1)得f(x)＝cos2x－，列表：

3π2x－3

x f(x)

描点画出图象(如图). π－3

0

12

0

π6

1

π2

512π

0

π

23π

－1

32π

1112π

0

53π

π

12

考点二

由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

ππ【例2】

(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－<θ<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单223位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0，，则φ的值2为________. (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.

ππ解析

(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－<θ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长22度后，得到函数g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)的图象，若f(x)，g(x)的图象

6

3都经过点P(0，2)，

33所以sin θ＝2，sin(－2φ＋θ)＝2，

π5ππππ3π所以θ＝3，sin－2φ＝2.又0＜φ＜π，所以－3＜3－2φ＜3，所以3－2φ34π5π＝－3.即φ＝6.

(2)由题图可知A＝2，

T7πππ法一

4＝12－3＝4，

所以T＝π，故ω＝2，

因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，

π又，0对应五点法作图中的第三个点，

3πππ因此2×3＋φ＝π，所以φ＝3，故f(x)＝2sin2x＋.

3π7π为最小值点，

法二

以，0为第二个“零点”，，－2312πω＝2，ω·3＋φ＝π，列方程组解得π

7π3πφ＝3，ω·＋φ＝，122π故f(x)＝2sin2x＋.

35ππ答案

(1)6

(2)f(x)＝2sin2x＋

3规律方法

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

2π(1)五点法，由ω＝T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；

(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 【训练2】

(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(

)

7

πA.y＝2sin2x－

6πC.y＝2sinx＋

6πB.y＝2sin2x－

3πD.y＝2sinx＋

3πππ解析

由题图可知，T＝2－－＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×3＋36πππφ＝2，所以φ＝－6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－，故选A.

6答案

A 考点三

三角函数模型及其应用

【例3】

某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关ππ系：f(t)＝10－3cos12t－sin12t，t∈[0，24). (1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

3π1π解

(1)因为f(t)＝10－2(2cos12t＋2sin12t) ππ＝10－2sint＋，

312πππ7π又0≤t<24，所以3≤12t＋3<3，

ππ当t＝2时，sint＋＝1；

312ππ当t＝14时，sint＋＝－1. 312于是f(t)在[0，24)上取得最大值12 ℃，取得最小值8 ℃. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，

ππ由(1)得f(t)＝10－2sint＋，

312

8

ππ1ππ故有10－2sint＋>11，即sint＋<－2. 3312127πππ11π又0≤t<24，因此6<12t＋3<6，即10

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.

考点四

y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用

π【例4】

(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋＋a(ω>0)图象上最6高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a和ω的值；

(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间. π解

(1)f(x)＝4cos ωx·

sinωx＋＋a

631＝4cos ωx·sin ωx＋cos ωx＋a

22＝23sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a

＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a

π＝2sin2ωx＋＋1＋a. 6π当sin2ωx＋＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a. 6又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1. 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，

∴f(x)的最小正周期为T＝π，

2π∴2ω＝T＝2，ω＝1. π(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋，

6ππ3π由2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ，k∈Z，

π2π得6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z.

9

π2π令k＝0，得6≤x≤3. π2π∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为，. 36规律方法

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.

xπxπ【训练4】

已知函数f(x)＝23sin＋·cos＋－sin(x＋π). 2424(1)求f(x)的最小正周期；

π(2)若将f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值. xπxπ解

(1)f(x)＝23sin＋·cos＋－sin(x＋π) 24242ππ＝3cos x＋sin x＝2sinx＋，于是T＝1＝2π. 3ππ(2)由已知得g(x)＝fx－＝2sinx＋，

66ππ7π∵x∈[0，π]，∴x＋6∈，66π1∴sinx＋∈－2，1，

6π∴g(x)＝2sinx＋∈[－1，2]，

6故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. ，



[思想方法] 1.五点法作图及图象变换问题

(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式

10

解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. [易错防范] 1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化. 3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域. 布置作业：p58页的课时训练第4讲做完。

年 月 日

课

后

反

思

11