2.1.2 向量的几何表示板书设计及设计说明

课题：

2.1.2

平面向量的几何表示

设计教师

设计时间

教学内容

课

题

福建省霞浦第一中学 李向跃

2018年6月4日

人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学必修4

平面向量的几何表示

1．知识与能力：

理解向量、零向量、向量的模、单位向量的概念；

理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

了解平行向量、相等向量的概念及表示法。

2．

过程与方法学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决。

［教学目标］

3．情感与价值观

(1)、有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；

(2)、努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；

(3)、通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念。

重点是向量的概念、相等向量的概念以及向量的几何表示。

难点是正确理解向量的概念和共线向量的概念。

多媒体希沃授课平台，PPT 启发式教学

［教学过程］

备注

［教学重点］

［教学难点］

［教学器材］

［教法学法］

一、教材新知

[巩固定义] 向量和数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

[化解疑难] 理解向量的概念应关注三点

(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

[知识点一]向量的几何表示

[提出问题] 问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想有向线段应包含什么要素？

提示：起点、方向、长度．

问题2：对既有大小、又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

提示：利用有向线段表示．

问题3：如何表示向量？

提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．

[导入新知] 1．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作AB

. (2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．

2．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

→→→(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时用a，b，c…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD. [化解疑难] 向量与有向线段的区别和联系

(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．

(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

[知识点二]向量的有关概念

[导入新知] 1．向量的模及两个特殊向量

(1)向量的长度(模)：

向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|. (2)两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．

②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

2．平行向量

平行向量：

①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量与平行，通常记作∥. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量，都有∥.

二、常考题型

[题型一]向量的有关概念

[例1]

下列说法正确的是(

) A．向量可以用有向线段来表示

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量AB与向量BA是两平行向量

D．单位向量都相等

[解析]

A项考查的是有向线段．事实上，零向量起点和终点同一点，不能用有向线段来表示．故A项错误．

由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．

由于向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．

单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．

[答案]

C [类题通法] 解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：平行向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量平行．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

[活学活用]

给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与向量BA相等．

以上命题中，正确命题的序号是(

) A．①

C．①③

B．②

D．②③

解析：选A

根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与向量BA模相等，方向相反，故③错误．故选A.

[题型二]

向量的表示

[例2]

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°. (1)[解析]

由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. [答案]

12 (2)[解]

①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

[类题通法] 用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[活学活用] 中国象棋中规定：马走“日”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1或AA2表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．

解：根据规则，画出符合要求的所有向量．

马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；

马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示．

[题型三]

平行向量

[例3]

如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形，找出与向量AB平行的向量．

EC与AB方向相同，CD，[解]

依据图形可知DC，ED，BA，CE与AB方向相反，CD，DE，所以与向量AB共线的向量为BA，DC，ED，DE，EC，CE.

[类题通法] 寻找平行向量的方法

先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

[活学活用] 1如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角3a形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3(1)与向量GH相等的向量有________；

(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1) LB，HC

(2) EC，LE，LB，GB，HC

(3) EF，FB，HA，HK，KB

[题型四]向量的模

[例题4]

给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a∥b，则|a|＝|b|；③若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(

)

A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

[解析]

①忽略了0与0的区别，a＝0；②两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；③当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c. [答案]

A [易错防范] 1．本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①②③都正确，从而误选D. 2．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

三、

随堂即时演练

1．有下列物理量：

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．

其中，不是向量的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C

因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．

解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．

答案：零向量

3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________. 1解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 2在Rt△ABO中，易得|BO

|＝3，则|BD|＝2|BO|＝23. 四、课堂小结

本节课内容：向量的概念、向量的表示方法、向量的模、零向量和单位向量、平行向量（共线向量）

五、作业布置

课堂巩固

课本77页

练习第1、3题

上交

课本77页

习题第1、2、5题

[教学反思]