3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生教学实录

[小试身手]

1．下列关于古典概型的说法中正确的是(

) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则kP(A)＝. nA．②④

C．①④ B．①③④

D．③④

解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B. 2．下列试验是古典概型的是(

) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}

B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面

D．某人射击中靶或不中靶

解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C. 3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(

) 1A.

22C. 31B.

3D．1 2解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种2情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝. 34．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为(

) A．0.30

C．0.40

B．0.35 D．0.65 2

解析：选B 抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010,010,100,100,010,001,100，7共有7组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为＝0.35，故选B. 20

基本事件的计数问题

[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为(

) A．2

C．4 B．3 D．6 (2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

①写出这个试验的所有基本事件；

②求这个试验的基本事件的总数；

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？

[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．

答案：C (2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．

②这个试验包含的基本事件的总数是8；

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

基本事件的三个探求方法

(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．

(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

[活学活用] 将一枚骰子先后抛掷两次，则：

(1)一共有几个基本事件？

(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？

解：(树状图法)：

一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：

3

(1)由图知，共36个基本事件．

(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出). 简单的古典概型的概率计算

[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)A：取出的两球都是白球；

(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．

[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．

62∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝. 155(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．

∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为

P(B)＝.

求解古典概型的概率“四步”法

815

[活学活用] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取

4

6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. (2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．

②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，31(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝. 155

古典概型的综合应用

[典例] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．

(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．

用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝{a1，b，a2，b，b，a1，b，a2}. 因为事件A由4个基本事件组成，

42所以P(A)＝＝. 63(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{a1，b，4本事件组成，因而P(B)＝. 9a2，b，b，a1，b，a2}.事件B由4个基

5

解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．

(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．

[活学活用] 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：21(1,2)，(1,3)，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝. 63(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．

3所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，

16313故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝. 1616利用随机模拟法估计概率

[典例] 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

6

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(

) A．0.35

C．0.20 B．0.25 D．0.15 [解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为51＝＝0.25.故选B. 204[答案] B

利用随机模拟估计概率应关注三点

用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：

(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；

(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．

[活学活用] 种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．

解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：

69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，9共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3. 30

7

[层级一

学业水平达标] 1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(

) 1A.

31C. 61B.

4D.1

12解析：选D 由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的31取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝，故选D. 36122．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(

) 1A. 21C. 41B.

31D.

5解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，61所以所得两位数大于30的概率为P＝＝. 1223．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(

) 1A. 21C. 3B.5

121D.

4解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，5当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是. 124．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907 966 191 925 271 932 812 458

8

569 683 631 257 393 027 556 488 730 113 137 989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为(

) A.C.13

209 20B.D.7

2011

20解析：选B 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共77组随机数，∴所求概率为. 205．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：

序号

1

2

3

4

合计

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．

解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.1. (2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1分组(分数段)

[0,60)

[60,75)

[75,90)

[90,100]

频数(人数)

频率

0.1 0.3 a 15

25

b

d

1 c 50

25＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.550，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．

3所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝. 10[层级二

应试能力达标]

9

1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(

) 1A.

61C. 21B.

32D.

3解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰21好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P＝＝.故选B. 6382．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下9列哪个事件的概率(

) A．颜色全同 C．颜色全不同 B．颜色不全同

D．无红球

解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，31248其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，279279318其概率为＝；无红球的情况有8种，其概率为，故选B. 279273．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(

) A.C.1 1801 360B.D.1

2881

480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因41一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝.故选C. 24×603604．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(

) A.3 102B.

53D.

51C. 2

10

解析：选C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，1则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为. 25．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．

解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种15取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－＝. 665答案：

66．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙，丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是________．

解析：基本事件有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P＝115－＝. 665答案：

67．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x＋y＝1有公共点的概率是________．

解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．

当直线与圆有公共点时，可得322a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，5(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为. 95答案：

98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．

(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；

(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．

11

解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5. (1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．

设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，12所以P(A)＝＝0.6. 20(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．

设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件12共12种，所以P(B)＝＝0.48. 25

9．(山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．

3所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 10(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

12

从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．

8所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 15

13