探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计第二课时

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

π1.(2016·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为(

) A.y＝sin 2x

C.y＝cos 2x

B.y＝sin 2x＋2 πD.y＝cos2x－

4ππ解析

将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移4个单位得到y＝cos 2x－＋14＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x，故选A.

答案

A ππ2.(2015·遵义联考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－＜φ＜的部分图象如图22所示，则ω，φ的值分别是(

)

1πA.2和6

πC.2和6

π1B.2和－3

πD.2和－3

5115解析

由图可知T＝212π－12π＝π，∴ω＝2，将12π，2代入解析式可5πππ5得2＝2sin2×12π＋φ，∴6＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－3，

πππ∵－2＜φ＜2，∴φ＝－3. 答案

D ππ3.(2015·河南六市联考)将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A≠0，ω＞0，－＜φ＜22

π的图象向左平移6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(

) A.6

B.3

C.4

D.2 ππ解析

由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－2＜φ＜2，∴φ＝0，y＝Asin ωππx.由函数图象向左平移6个单位得到函数y＝Asinωx＋＝6ππAsinωx＋ω，其图象关于原点对称，∴有6ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝66k(k∈Z)，故选A. 答案

A π4.(2016·南昌调研)要得到函数f(x)＝cos2x＋的图象，只需将函数g(x)＝3πsin2x＋的图象(

) 3πA.向左平移2个单位长度

πC.向左平移4个单位长度

πB.向右平移2个单位长度

πD.向右平移4个单位长度

ππ5ππ

解析

因为f(x)＝cos2x＋－＝sin－2x＝sin2x＋2666ππ＝sin2x＋＋，

43ππ所以要得到函数f(x)＝cos2x＋的图象，只需将函数g(x)＝sin2x＋的图33π象向左平移4个单位长度.故选C.

答案

C ππ5.(2016·承德一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间－，上的最小值为－2，43则ω的取值范围是(

) 9A.－∞，－2∪[6，＋∞) C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) 93B.－∞，－2∪2，＋∞

3D.(－∞，－2]∪2，＋∞



ππππ3解析

当ω>0时，－3ω≤ωx≤4ω，由题意知－3ω≤－2，即ω≥2；当ππππω<0时，4ω≤ωx≤－3ω，由题意知4ω≤－2，∴ω≤－2.

3综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪2，＋∞. 答案

D 二、填空题

ππ6.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－≤φ＜图象上每一点的横坐标缩短为22π原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到y＝sin x的图象，则πf＝________. 6

1π即f(x)＝sinx＋，

62π2πππ∴f＝sin＋＝sin 4＝2.

61262答案

2

ππ7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－≤φ≤的图象上的两个相邻的最高221点和最低点的距离为22，且过点2，－2，则函数解析式f(x)＝________. 解析

据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得2ππ22，解得T＝4，故ω＝T＝2，

1πx即f(x)＝sin＋φ，又函数图象过点2，－2，

2π1ππ故f(2)＝sin×2＋φ＝－sin φ＝－2，又－2≤φ≤2，

2T22＋（1＋1）2＝

ππxπ解得φ＝6，故f(x)＝sin＋.

62πxπ答案

sin＋

628.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋πAcos（x－6）

(x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均6气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃. a＋A＝28，a＝23，π解析

由题意得

∴∴y＝23＋5cos（x－6），

6a－A＝18，A＝5，1当x＝10时，y＝23＋5×－2＝20.5. 答案

20.5 三、解答题

π9.(2016·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sinx＋＋a的最大值为2. 6

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象. 3π1解

(1)f(x)＝4cos xsinx＋＋a＝4cos x·sin x＋cos x＋a＝3sin 2x＋622π2cos2x＋a＝3sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin2x＋＋1＋a的最大值为2，

62π∴a＝－1，最小正周期T＝2＝π. (2)列表：

x 0

π

65π

122π

311π

12π

π2x＋6

πf(x)＝2sin2x＋

6画图如下：

π6

1

π2

2

π

0

3π2

－2

2π

0

13π6

1

π10.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0＜φ＜的部分图象如图所示. 2

(1)求φ及图中x0的值；

111(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋3，求函数g(x)在区间－2，3上的最大值和最小值. ππ33解

(1)由题图得f(0)＝2，所以cos φ＝2，因为0＜φ＜2，故φ＝6. 由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，

7ππ13ππ33故6＜πx0＋6＜6，由f(x0)＝2得cosπx0＋＝2，

6π11π5所以πx0＋6＝6，x0＝3. π1π1(2)因为fx＋3＝cosπx＋3＋＝cosπx＋＝－sin πx，

26ππ1所以g(x)＝f(x)＋fx＋3＝cosπx＋－sin πx＝cos πxcos 6－sin πxsin 6π3133－sin πx＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－62222sin πx π＝3sin－πx. 6

ππ2π11当x∈－2，3时，－6≤6－πx≤3. 1π所以－2≤sin－π6x≤1，

ππ1故6－πx＝2，即x＝－3时，g(x)取得最大值3；

ππ13当6－πx＝－6，即x＝3时，g(x)取得最小值－2. 能力提升题组

(建议用时：20分钟) π11.(2016·哈尔滨模拟)设函数f(x)＝sin2x＋，则下列结论正确的是(

) 6πA.f(x)的图象关于直线x＝3对称

πB.f(x)的图象关于点，0对称

6πC.f(x)的最小正周期为π，且在0，上为增函数

12πD.把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象

12ππ解析

对于函数f(x)＝sin2x＋，当x＝3时，

65π1ππf＝sin 6＝2，故A错；当x＝6时，

3πππf＝sin 2＝1，故，0不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期662ππ为T＝2＝π，当x∈0，时，

12πππ2x＋6∈，，此时函数为增函数，故C正确；

36πππ把f(x)的图象向右平移12个单位，得到g(x)＝sin2x－＋＝sin 2x，函数126是奇函数，故D错. 答案

C 12.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正

2π周期为π，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(

) A.f(2)

C.f(－2)

B.f(0)

由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝34ππ11π时，2x＋φ＝3＋φ＝2kπ－2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－6(k∈Z)，又φ>0，∴πππ1φmin＝6，故f(x)＝Asin(2x＋6).于是f(0)＝2A，f(2)＝Asin(4＋6)，f(－2)＝π5π7ππππ13π，又∵－<－4<4－Asin－4＋＝Asin－4266<6<2，

66ππ5π其中f(2)＝Asin4＋＝Asinπ－4＋＝Asin－4，

6667π13π13π＝Asinπ－＝Asin4－.

f(－2)＝Asin－4－4666ππ又f(x)在－，单调递增，∴f(2)

A 13.(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx

的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. y＝2sin ωx，解析

由得sin ωx＝cos ωx，

y＝2cos ωxπ∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋4

(k∈Z).

π∵ω>0，∴x＝＋

(k∈Z).

ω4ωπ5π设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x＝，则4ω24ω5πππ－＝.

|x2－x1|＝4ω4ωω22又结合图形知|y2－y1|＝2×－－2×＝22，

22且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为23，

kπ

∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(23)2，

ππ2∴＋(22)2＝12，∴ω＝2. ωπ答案

2

14.已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2sin2x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

1(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的2，再π把所得到的图象向左平移6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数yππ＝g(x)在区间－，上的值域. 612解

(1)因为f(x)＝23sin xcos x＋2sin2x－1 π＝3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－，

6∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，

由－πππ＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

262ππ∴－6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z，

ππ∴f(x)的单调递增区间为－＋kπ，＋kπ，k∈Z. 361(2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的2，得到πy＝2sin4x－；

6πππ再把所得到的图象向左平移6个单位长度，得到g(x)＝2sin4x＋－＝66π2sin4x＋＝2cos 4x，

2ππ2ππ，

当x∈－，时，4x∈－3，3612π所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝－6时，g(x)min＝－1.

ππ∴y＝g(x)在区间－，上的值域为[－1，2]. 612