小结教案评析

知识点

平面向量的实际背景及基本概念

考纲展示

❶

了解向量的实际背景．

❷

理解平面向量的概念及两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．

❶

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

❷

掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

❸

了解向量线性运算的性质及其几何意义．

❶

了解平面向量的基本定理及其意义．

❷

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

❸

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

❹

理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

❶

理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

❷

了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

❸

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

❹

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

❺

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

❻

会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 第1讲

平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

既有大小又有方向的量；向量的大平面向量是自由向量，即向量向量

小叫做向量的长度(或称模)

可平移

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0，0·a＝0

单位向量

平行(共线)向量

相等向量

长度等于1个单位长度的向量

方向相同或相反的非零向量

长度相等且方向相同的向量

a非零向量a的单位向量为±

|a|0与任一向量平行或共线

两向量只有相等或不等，不能比较大小

0的相反向量为0

向量的线性运算

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的数量积及向量的应用

相反向量

长度相等且方向相反的向量

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c) 加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

求实数λ与向量a的积的运算

a－b＝a＋(－b)

(1)|λa|＝|λ||a|；

λ(μa)＝(λμ)a；

(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0(λ＋μ)a＝λa＋μa；

时，λa与

a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(a＋b)＝λa＋λb

＝0

数乘

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

→→→→→A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)OA＋tOB(O为平面内异于A，P，→→→B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

1．(必修4 P77A组T3改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(

)

→→A.EF＝CD

→→B.AB与DE共线

→→C.BD与CD是相反向量

→1→D.AE＝2|AC| 解析：选D.根据向量的概念可知选D. 2．(必修4 P78A组T6改编)下列结论正确的是(

) A．若|a|＝0，则a＝0

B．若a，b是两个单位向量，则a＝b

C．若a＝b，b＝c，则a＝c

→→D．若AB＝AC，则AB＝AC

解析：选C.根据向量的概念可知选C. →→3.(必修4 P89例7改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b→表示MD为(

)

11A．2a＋2b

11C．－2a－2b

11→1→1解析：选D.MD＝2BD＝2(b－a)＝－2a＋2b，故选D. 4．(必修4 P90练习T4(2)改编)向量e1与e2不共线，若a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ＝________．

解析：∵e1与e2不共线，且a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，∴存在μ∈R，使e111B．2a－2b

11D．－2a＋2b

1＝－2μ－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，得，∴λ＝2.

－1＝μλ答案：2

平面向量的相关概念

在下列命题中，

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

→→③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

其中正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：

①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向

不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，如果b＝0，则a与c不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模为实数，可以比较大小．故选A.

[答案]

A

对于向量的概念的三点注意

(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；

(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；

(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能比较大小，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．

【对点通关】

1．(必修4 P78A组T6改编)下列四个结论

①若a、b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1. ②物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量．

③直角坐标系中，x轴、y轴都是向量．

④若|a|＝|b|，则a＝±b. 则正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选B.①由单位向量的定义可知①正确．

②根据物理学知识知②正确．

③x轴与y轴无大小，故③错．

④a与b方向不一定相同或相反，故④错．故选B. 2．下列四个命题，其中正确的个数是(

) ①若向量a与b不共线，则向量a与b都是非零向量．

②共线的单位向量必相等．

③若|a|≠|b|，则a与b一定不共线．

④若a，b为两个非零向量，则|a＋b|>|a－b|. A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B.对于命题①，假设a与b不都是非零向量，不妨设a＝0，则a与b一定共线，这与命题条件矛盾，故a与b都是非零向量，①正确．对于②，因为共线的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故②错；由③|a|≠|b|可知，向量a与b的模长不相等，但方向可能相同或相反，故③错；对于④，若b＝－a，则a＋b＝0，|a＋b|＝0，而|a－b|＝|2a|＝2|a|，又∵a≠0，∴|a＋b|<|a－b|，故④错．

平面向量的线性运算

→→→1→→

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2 DB，CD＝3CA＋λCB，则λ

等于(

) 2A．3

1C．－3

1B．3

2D．－3

解析：

法一：如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，

→→→所以CD＝CE＋CF.

2→→→1→→2→→1→2→因为AD＝2 DB，所以CE＝3CA，CF＝3CB，故CD＝3CA＋3CB，所以λ＝3.

→→→→→→法二：∵AD＝2DB，∴CD－CA＝2(CB－CD)，

→→→→1→2→即3CD＝CA＋2CB，∴CD＝3CA＋3CB，

2∴λ＝3.选A.

→→法三：由AD＝2DB知，A、D、B三点共线，

12→1→→又CD＝CA＋λCB，∴1＝＋λ，∴λ＝.

333[答案]

A [互动探究] 1→λ→→→→若AD＝λDB(λ≠－1)，求证：CD＝CA＋CB.

1＋λ1＋λ→→→→→→证明：由AD＝λDB得CD－CA＝λ(CB－CD)，

→→→即(1＋λ)CD＝CA＋λCB，

1→λ→→∴CD＝CA＋CB. 1＋λ1＋λ

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

【对点通关】

→→→1．(必修4 P92B组T5改编)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，若OA＋OC＝OB

→＋OD，则四边形ABCD一定为(

) A．正方形

C．菱形

B．矩形

D．平行四边形

→→→→→→→→→→解析：选D.由OA＋OC＝OB＋OD，得OA－OB＝OD－OC，即BA＝CD，∴BA∥CD，且BA＝CD.

∴四边形ABCD一定为平行四边形，故选D.

2．(必修4 P118A组T2(5)改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为平面内任一点，→→→→则OA＋OB＋OC＋OD等于(

) →A.OM

→C．3OM

→B．2OM

→D．4OM

→→→→→→→→→→→解析：选D.如图，OA＋OB＋OC＋OD＝OM＋MA＋OM＋MB＋OM＋MC＋OM＋→→→→→→→MD＝4OM＋(MA＋MC)＋(MB＋MD)＝4OM，故选D.

→→→→3．(必修4 P86例4改编)如图，▱ABCD中，AC＝a，BD＝b，则AB＝________，AD＝________．

解析：法一：设AC与BD交于M(图略)，

1→1→→→→则AB＝MB－MA＝－2BD－－2AC

1111＝－2b－－2a＝2a－2b.

1→→→→1→AD＝MD－MA＝2BD－－2AC

1111＝2b－－2a＝2a＋2b.

x＋y＝a，→→法二：设AB＝x，AD＝y，则

y－x＝b，1111解得x＝2a－2b，y＝2a＋2b.

1111答案：a－b

a＋b

2222

平面向量共线定理的应用

(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

→→→(2)设两个非零向量a，b不共线，若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝λa－3b，若A、B、D三点共线，则λ＝________．

解析：

(1)∵λa＋b与a＋2b平行，

∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，

1λ＝2，λ＝t，∴解得

11＝2t，t＝.2→(2)∵AB＝a＋b，

→→→BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋λa－3b

＝(2＋λ)a＋5b.

→→又A、B、D三点共线，则存在μ∈R，使得AB＝μBD，即a＋b＝μ[(2＋λ)a＋5b]，

1＝μ（2＋λ）由于a、b不共线，∴，

1＝5μ1解得μ＝5，λ＝3.

1[答案]

(1)

(2)3 2

1．向量a，b共线的两种情况

(1)a与b共线⇔存在不全为零的实数λ、μ使得λa＋μb＝0.

(2)若e1，e2是不共线的两向量，则a＝λ1e1＋λ2e2与b＝μ1e1＋μ2e2平行⇔λ1μ2－λ2μ1＝0.

→→→→→2．证明A、B、C三点共线转化成证明AB与AC(或BC)共线⇔存在实数λ，使AB＝λAC→→(或AB＝λBC)．

【对点通关】

1．(必修4 P90练习T4(2)改编)设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是(

) A．λ＝0 B．λ＝－1

C．λ＝－2 1D．λ＝－

2解析：选D.∵a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，

111∴a，b共线⇔b＝2a⇔b＝e1－2e2⇔λ＝－2. 2.(名师原创)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，→→→→AC所在直线于不同的两点M，N，若AB＝m

AM，AC＝n

AN，则m＋n的值为________．

→1→→解析：法一：连接AO(图略)．由于O为BC的中点，故AO＝2(AB＋AC)，

1→11→1→→→→1→→MO＝AO－AM＝2(AB＋AC)－mAB＝(2－m)AB＋2AC，

→1→11→同理，NO＝2AB＋(2－n)AC.

→→→→由于向量MO，NO共线，故存在实数λ使得MO＝λNO，

11→1→1→11→即(2－m)AB＋2AC＝λ[2AB＋(2－n)AC]．

111111→→由于AB，AC不共线，故得2－m＝2λ且2＝λ(2－n)，消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，

化简即得m＋n＝2.

→1→→m→n→法二：连接AO(图略)，则AO＝2(AB＋AC)＝2AM＋2AN，因为M，O，N三点共线，

mn所以2＋2＝1，所以m＋n＝2.

答案：2 3．(必修4 P120B组T4改编)如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上→→→→的两个三等分点，若AB＝a，BC＝b，AB＝2DC.

→(1)用a，b表示AM；

(2)证明A，M，C三点共线．

11→→→→解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋－2a＝2a＋b，又E为AD的中点，



1→1→1∴AE＝AD＝a＋b，

242∵EF是梯形的中位线，

→→且AB＝2DC，

113→1→→∴EF＝2(AB＋DC)＝2a＋2a＝4a，

又M，N是EF的三等分点，

→1→1∴EM＝3EF＝4a，

1→→→1111∴AM＝AE＋EM＝4a＋2b＋4a＝2a＋2b.

→2→1(2)证明：由(1)知MF＝3EF＝2a，

连接MC(图略)，

→→→11→∴MC＝MF＋FC＝2a＋2b＝AM，

→→又MC与AM有公共点M，

∴A，M，C三点共线．

→1．下列各式中不能化简为PQ的是(

) →→→A.AB＋(PA＋BQ) →→→C.QC－QP＋CQ

→→→→B．(AB＋PC)＋(BA－QC) →→→D．PA＋AB－BQ

→→→→→→→→→解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；

→→→→→→→→→→→(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；

→→→→→→QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；

→→→→→PA＋AB－BQ＝PB－BQ，

→→→显然由PB－BQ得不出PQ，

→所以不能化简为PQ的式子是D. 2．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：

→→→→→→→→→→→→①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的个数是(

)

A．0

C．2

B．1

D．3 →→→→→→→→解析：选C.①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，→→→→→→→→→不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式→→→→→→的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．

→→3．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是(

) 1A．

32C．3

1B．

23D．4

→|CP|2→→解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边→1|PA|→S△PAB|PA|1PC上的高相等，所以＝＝. S△PBC→2|CP|4．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(

) A．a

B．b

C．c

D．0

解析：选D.因为a＋b与c共线，

所以a＋b＝λ1c.①

又因为b＋c与a共线，

所以b＋c＝λ2a.

由①得b＝λ1c－a.

所以b＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，

λ1＋1＝0，λ1＝－1，所以即

λ2＝－1，λ2＝－1，所以a＋b＋c＝－c＋c＝0. 5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的什么条件(

) A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q，

若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，

即a＝λb，且λ＞0，故q

p.

所以p是q的充分不必要条件，故选A.

6．(2017·石家庄市第一次模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线→→→段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是(

) A．(0，1) C．(1，2 ] B．(1，＋∞) D．(0，2) →→→→解析：选B.由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，1所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．

→→→7．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝(

)

1A.4

1C.2

1B．3

1D．8

1→→→→1→→→[导学号54072253]

解析：选C.设BH＝xCB，因为AM＝2(AB＋BH)＝2[AB＋x(AB－1→→→→→→AC)]＝2[(1＋x)·AB－xAC]，且AM＝λAB＋μAC，

1所以1＋x＝2λ，－x＝2μ，所以λ＋μ＝2. →→→8．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．

→→→→→→→[导学号54072254]

解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，→→→→→→AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13. 答案：[3，13] →→→→→9．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3 NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．

→→[导学号54072255]

解析：由AN＝3 NC，得

1→→→4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋2b，

111→3所以MN＝4(a＋b)－a＋2b＝－4a＋4b.

11答案：－4a＋4b

10．(2017·唐山统考)已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．

[导学号54072256]

解析：因为a＋λb与－(b－3a)共线，

所以存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，

1μ＝3，1＝3μ，即所以

1λ＝－μ，λ＝－3.1答案：－3

11.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域1→→→内(不含边界)运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是________；当x＝－时，y2的取值范围是________．

[导学号54072257]

解析：∵P点在阴影区域内，

∴过P点作OB的平行线交AO的延长线(图略)，且只能交AO于延长线上一点，故x<0.

1→→→→→→OP＝xOA＋yOB＝－2OA＋y(OA＋AB)

1→→＝－2＋yOA＋yAB，

111→→则由－2＋y>0，得y>2，又－2＋yOA＋yAB

11→→1→＝－2＋yOA＋－2＋yAB＋2AB

1→1→＝－2＋yOB＋2AB，

1313则－2＋y<1，得y<2，∴2

13答案：(－∞，0)

2，2

12．已知在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、14→→→→F两点，若AB＝λAE(λ＞0)，AC＝μAF(μ＞0)，则λ＋μ的最小值是________．

→→→→→→λ→[导学号54072258]

解析：由题意得，AB＋AC＝2 AD＝λAE＋μAF，所以AD＝2AEμ→λμ＋2AF，又D、E、F在同一条直线上，可得2＋2＝1.

1452λμ514λμ9所以λ＋μ＝2＋2·λ＋μ＝2＋μ＋2λ≥2＋2＝2，当且仅当2λ＝μ时取等号．



9答案：

2→→→13．已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0，延长AP交BC于点D，若→→→→AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AP、AD. →→→→[导学号54072259]

解：因为BP＝AP－AB＝AP－a，

→→→→CP＝AP－AC＝AP－b，

→→→3AP＋4BP＋5CP＝0，

→→→所以3AP＋4(AP－a)＋5(AP－b)＝0，

5→1→→所以AP＝3a＋12b.设AD＝tAP，

5→1则AD＝3ta＋12tb.①

→→又设BD＝kBC，

→→→→由BC＝AC－AB＝b－a，得BD＝k(b－a)．

→→→→而AD＝AB＋BD＝a＋BD.

→所以AD＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②

13t＝1－k，4由①②得解得t＝.

35t＝k，125→4代入①得AD＝a＋b.

995→1→45所以AP＝3a＋12b，AD＝9a＋9b. 14．已知非零向量e1，e2不共线．

→→→(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

→[导学号54072260]

解：(1)证明：因为AB＝e1＋e2，

→→→BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2

→＝5(e1＋e2)＝5AB，

→→所以AB与BD共线，且有公共点B，

所以A、B、D三点共线．

(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，

所以存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

由于e1与e2不共线，

k－λ＝0，只能有所以k＝±1. λk－1＝0，