二次根式应用教学教案设计

第十六章

二次根式

16.3 二次根式的加减

第3课时

二次根式的应用

情景导入

问题情景：

现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？

图16－3－1 [说明与建议] 说明：通过研究实际问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望．建议：教学中采用分组讨论，自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．学生在自主探究的过程中发现问题，解决问题，总结规律，加深对所学知识的理解．

复习导入

1．计算：(1)2x＋3x；(2)3a2－2a2＋a3. 2．把下列二次根式化为最简二次根式：

8，18，1，27，21，327. 43．猜测：什么样的二次根式才能相加减？如何相加减？(引入新课) [说明与建议] 说明：通过类比整式的加减法则——合并同类项引入新课．建议：教学中教师要充分调动学生的学习主动性，将课堂留给学生，让他们自主学习，自主发现问题，自主解决问题．

素材二

考情考向分析

[命题角度1] 利用同类二次根式的概念解题

只有被开方数相同的二次根式才能合并，结合最简二次根式的概念列出方程组，即可求解．

例

最简二次根式解：因为2b－a2b－a4a＋3b与2a＋3可以合并，你能求出a和b的值吗？

4a＋3b与2a＋3都是最简二次根式，且能够合并，所以根指数相同，a＝0，2b－a＝2，被开方数也相同，即解得

4a＋3b＝2a＋3，b＝1.[命题角度2] 二次根式的加减运算

二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式．(2)判别：找出被开方数相同的二次根式．(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并．

例

计算：

(1)5＋(20－45)；

(2)125＋175－28＋(3)48－4 1；

2025x＋16x－9x. 41－3 81－4 0.5；

(4)3解：(1)5＋(20－45)＝5＋2 5－3 5＝(1＋2－3)5＝0.

(2)125＋175－28＋(3)48－4 1551＝5 5＋5 7－2 7＋＝

5＋3 7.

2010101－4 0.5＝4 3－2－3＋2 2＝3 3＋2.

31－3 8(4)52557＋4－3

x＝

x.

x＋16x－9x＝

x＋4 x－3 x＝2422[命题角度3] 二次根式的化简求值

先把原式化简，然后把字母的值代入化简后的式子求值．

例

先化简，再求值：6xy3＋xy3－4yxyx＋36xy

y4x＋36xy，其中x＝5，y＝10. y解：6xy3＋xy3－4yxy＝6 xy＋3 xy－4 xy－6 xy

＝－xy.

4当x＝，y＝10时，原式＝－5素材三

教材习题答案

[教材习题答案] P13

练习

1．下列计算是否正确？为什么？

(1)8－3＝8－3；

(2)4＋9＝4＋9；

(3)32－2＝22. 答案：

(1)不正确，∵被开方数不同时不能合并．

(2)不正确，4＋9＝2＋3＝5≠13，

∵被开方数不同时不能直接合并．

(3)正确，满足分配律，32－2＝(3－1)2＝22. 2．计算：

(1)27－67；(2)80－20＋5；

(3)18＋(98－27)；

1(4)(24＋0.5)－－6. 8答案：

(1) 27－67＝(2－6)7＝－47. (2)80－20＋5＝45－25＋5 ＝(4－2＋1)5＝35. (3)18＋(98－27) ＝32＋72－33＝102－33. 1(4)(24＋0.5)－－6

84×10＝－2 2.

5

222－＋6＝3 6＋. 2443．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12.求圆环的宽度d(π取＝2 6＋3.14，结果保留小数点后两位)．

答案：设大圆半径为R，小圆半径为r，则d＝R－r，

由πR2＝25.12，得R＝25.12π＝8＝22，

由πr2＝12.56，得r＝12.56π＝4＝2，

∴d＝R－r＝2 2－2≈0.83.

素材四

图书增值练习

[当堂检测] 第1课时

二次根式的加减

1. 以下二次根式：①12；②22；③23；④27.其中与3可以合并的二次根式是（

A．①和②

B．②和③

C．①和④

D．③和④

2. 下列各式的计算：①33+3=63；②177=1；

③2+6=8=22；④243=22.其中错误的有（

）

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

3. 计算：（1）322=

；（2）12+3=

．

4. 若最简二次根式23m22与n134m210可以合并成一个二次根式，求m、n的值. 5. 若x-y=2-1，xy=2，求代数式（x-1）（y+1）的值.

参考答案

1．C

2．A

3．（1）22

（2）33

4．解：∵最简二次根式233m22与n14m210可以合并，

∴3m2-2=4m2-10，n-1=2，

）

解得m=±22，n=3.

5．解：原式=xy+x-y-1=2+2-1-1=22-2.

[能力培优][课时练习]

素材五

数学素养提升

揭开A、B的神秘“面纱”

揭开A、B的神秘“面纱”

阅读下面一段话，判断A、B的大小，并说明理由．一天，A与B见面，它们谈起心来．

A(悲伤地)：我是一个数的平方根，但我却没有平方根．

B(骄傲地)：那你真可怜，我不但有平方根，而且还有算术平方根呢！说来也巧，它们还相同呢！

答案：因为A是一个数的平方根，而它本身没有平方根，由于负数是正数的一个平方根且负数没有平方根，所以A是一个负数．又因为B有平方根和算术平方根，并且还相等，由“0的算术平方根是0”和“0的平方根是0”，可知B是0，所以A＜B．

华老巧求立方根

一次华罗庚教授乘飞机出国访问，在飞机上，他的一位助手借了邻座一位香港同胞的杂志看，上面有个题目要计算59319的立方根，华教授看了，立即脱口而出，答案是39，旁边的人觉得很惊奇，问他为什么能算得这么快，窍门在哪里？

答案：因为30=30×30×30=27000＜59319，40=40×40×40=64000＞59319．

又因为前两位是59，所以答数的十位数字必是3，又因为尾数即最后一位是9，而1、2、3、4、5、6、7、8、9的立方的个位数分别是1、8、7、4、5、6、3、2、9，所以答数的个位必是9，从而可以知道59319的立方根必是39．

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