阅读与思考 概率与密码教学设计实例

几何概型 教案

一、教材分析

1.

教材内容:高中人教A版（必修3）3.31几何概型

2.

教材所处的地位和作用:本章主要的研究对象是日常生活中我们无法事先预测结果的事情，对我们的生活是很有意义的。本节课是在古典概型基础上的发展，是等可能事件的概念从无限向有限的延伸，使概率的知识更加完善，更有助于提高学生的全面系统的分析问题的能力。

3.

教学目标

（1）

知识与技能: ①

了解几何概型的两个基本特征

②

了解古典概型与几何概型的异同点

③

掌握几何概型的概率公式: P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） ④

正确的计算几何概型概率

（2）

过程与方法: ①

采用发现法教学,通过师生共同探究,辨析古典概型与几何概型的异 同，并引导学生发现概念，体会数学知识的形成。

②

引导学生类比古典概型与几何概型的解决方法，促进学生吸收本节知

识。

（3）

情感、态度与价值观: ①

本节课的内容贴近生活，学生能体会概率在生活中的重要作用

②

随机试验多，有助学生养成严谨的思维习惯。

③

培养学生的数学兴趣和逻辑思维能力，帮助学生树立辩证的思想

4．重点与难点

4.1 教学重点: （1）几何概型的基本特征，几何概型的识别；

（2）几何概型的计算公式及其应用

4.2 教学难点: （1）如何将随机试验转化到几何区域上研究

（2）几何概型的计算方法

二、学情分析（以我带的辅导班为例）

本班学生都是文科类的。基础较薄弱。前面学习随机事件的概率和古典概型，但是从有限到无限，从古典概型到几何概型的过度，要懂得将随机试验的实际背景转化为“几何度量”，此时学生会遇到一些困难。故在创设问题情境和举例子都应恰当，尽量举与生活相关的例子。并进行恰当的引导、合理的解释和明确的辨析。

三、教法分析 采用发现法教学,师生共同探究,通过提出问题、分析问题、解决问题等教学过程，引导学生观察对比、并概括归纳出几何概型的概念及其公式。充分发挥教学过程中学生的主体性。再通过一些实际问题学以致用，加深学生的理解。最后通过回顾反思总结本节主要知识点进行巩固

四、学法指导

1

学生在“观察—发现—类比—归纳—应用”的学习过程中，自主参与一个知识点为何会发生，又是怎样发展最后形成的的过程。把先人的发现化为自己的发现，最终达到掌握知识点并运用知识点的目的。

五、教辅手段

幻灯片，计算机，几何画板。

六、教学过程

1．教学环节（1）复习

教学过程

问题:学校举办英语竞赛，班主任要从甲、乙、丙

、丁四人中任选两名代表去参加

比赛，甲被选中的概率是多少？

学生:甲被选中的概率1/2 老师:怎么来的啊？

学生:所有可能为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁6种。甲被选中有：甲乙、 甲丙、甲丁3种。3/6=1/2 老师:对不对啊！那老师给出详细解答。那此种概率求解问题可归结为哪种概率模

型？

学生:古典概型。

老师:古典概型的特征是？

学生:（1）试验中所有可能的结果（基本事件）只有有限个——基本事件具有

有限性。

（2）每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发生具有等可能性。

老师:那上节课我们还得出一个计算公式记得吗？

学生:P(A)= 老师:生活中的一些概率问题都可以转化为数学中的相应的概率模型，那是 不是所有的随机试验的基本事件的总数都是有限个呀。我们来看下面的 例子。如:一个人到单位的时间可能是8:00-9:00之间的任何一个时刻； 往一个方格里面投入石子它可能落在地位置个数有多少个？

学生:无数个

老师:对了，那这些实验是不是随机试验啊。他们可能出现的结果是不是都是无 限个的啊，也就是说这些随机试验的基本事件的总数是无限个的啊1是吧

学生:恩

老师:那这样的随机试验还能用古典模型求解吗？

学生:不行

老师:恩，为什么呀

学生:不满足第一个条件

老师:对了，很好，那这样我们要怎么算他们的概率呢？来看下面的例题

设计意图:复习旧的知识，并从中提出问题若基本事件总数是无限的那 如何求解，引出新的知识。显得过度自然，也在本节课一开始就将学生

引入思考探索的情景中。

2．教学环节（2）问题情境

教学过程

问题:图3.3—1中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，

2

甲获胜，否则乙获胜，在下面两种情况下分别求甲获胜的概率？

图3.3—1 老师:首先老师演示下这个转盘转动，大家观察下这道题。请一位同学来帮我

分析一下这道题。这道题可以用我们上节课学习的古典概型来求解吗？

学生:不行

老师:恩，不行。那你能给老师分析一下这道题目为何不能用古典概型求解吗？

它与古典概型有什么异同点呢？

学生:相同点:第一，该试验是随机试验；第二，每个基本事件发生的概率是相同的；

不同点:不符合古典概型第一个特点。所以不能用古典概型来求解

老师:对了，不能用古典概型来求解！那么这道题到底该怎么做了？同学们想

想，脑袋瓜动起来。到底概率是多少

学生1:第一种情况甲获胜的概率是1/2；第二种情况甲获胜的概率是3/5. 老师:1/2，3/5。你是怎么得到的了？

学生:B所在的面积除以整个转盘面积，B所在的面积占整个转盘面积分别为

1/2，3/5。

老师:好，这是你的看法。那我们现在还没有这一种类型的概率问题的理论依据啊！ 那这位同学答案到底是对的还是错的了。我们通过实验来验证一下吧（演示实验）

对得到的试验数据进行分析，发现数值是不一样的。但都在某一个值附事件A 发生的频率在稳定在某个常数上，把这个常数记为P（A），称为事件A的概率。故验证了该生的结果

老师:通过这个例子我们知道不是所有的随机试验的概率都可以用古典概型来求解！

但是却与古典模型有相似点，那么这又是什么样的概率模型了？它有什么特点

了？刚刚生1是不是给我们解答啦。好的，既然二者有相似点，那么同学们是

否可以类比古典概型，类似的总结一下这种概率模型的特点了。来，大家一起

来，什么特点？

学生:（1）试验中所有可能的结果（基本事件）有无限个——基本事件具有无限性。

（2）每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发生具有等可能性。

老师:那我们给这样的模型叫几何模型

设计意图:创设问题情境，与学生一起进行探究。一步步的引出今天学习的重点，并

和学生一点发现几何概型特点。这样子学生的印象会更深刻，也易接受

3．教学环节（3）构建数学理论

教学过程

老师:那么什么叫几何概型了。观察上面的例题，看看事件发生的概率是与谁有关

3

了？

学生:长度，面积（若学生答不出来，就引导想想刚刚学生的解答过程，是由什么决

定概率的了）

老师:很好，所以，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积）

成比例，则称这样的概率模型为几何模型

老师:上节课我们学习古典概型的时候是不是有总结出它求概率的计算公式啊

学生:是

老师:那几何概型我们可不可以也总结出它的计算公式了？同学们再来看下面的例

题

问题:某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的

时间不多于10分钟的概率

老师:这道题怎么做了？第一步要先做什么了？

学生:1/6

老师:怎么来的啊，属于哪种概率模型了？

学生:10/60。属于几何概型

老师:很好，电台报时是一个小时报一次，所以他最多等一个小时。且在0-60 分 钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0-60之间有无穷个时刻，

这时候是不是不能用古典概型的公式求解啊。设事件A=“他等待不多于10 钟”,则我们关心的就只是他打开收音机的时候位于[50，60] 这个时间段内

啊。那我们可不可以吧这段时间就看出一段长度啊

学生:可以

老师:也就是说他在那个时段打开收音机的概率只与该时段的长度有关，与

该段的位置无关是吧

学生:恩

老师:那这是不是符合几何概型了

学生:是

老师:所以P(A)=(60-50)/60=1/6 老师:好的，经过上面的例题我们来一起看下能不能总结出计算公式来。与古典

概型类比下。观察发现形式与古典概型很像，都是分式对吧？那分母是什

么？

学生:所有的面积，长度

老师:对了，是试验的全部结果所构成的区域长度，面积。那分子了？

学生:事件A所占的长度，面积

老师:很好。有没有发现老师这里还空着位置啊？

学生:有

老师:说明这边还有东西还没填完对吧。大家想一想，长度是一维的吧，面积

是二维的吧。那如果我们遇到三维的呢？还是长度和面积决定的吗?大

家猜下是什么？

学生:体积

老师:对了，这时候就是体积了。所以这个空位补上体积，最终这个公式就形

成了。看是不是与古典概型的很像了

设计意图:由老师和学生共同探讨，中间运用类比的思想得出数学理论，这样有

助于学生认识几何概型的本质

4．教学环节（4）数学应用

4

老师:接下来，我们来学以致用一下

例1: 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，

则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

分析:病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解:取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则

P(A)=

取出的种子体积10==0.01．

所有种子的体积1000答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01

例2 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。

解:记“钻到油层面”为事件A，则P(A)=

储藏石油的大陆架面积40==0.004

所有海域的大陆架面积100005．教学环节（5）回顾小结

本节课我们学习了什么？

①认识了几何概型

②与古典概型的联系与区别

联系:基本事件的发生都是等可能的

区别:古典概型基本事件个数是有限的，但几何概型是无限的。

③几何概型的特点: （1）试验中所有可能的结果（基本事件）有无限个——基本事件具有无限性。

（2）每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发生具有等可能性。

④计算方法:P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

注:①解题重点是从实际背景中抽象出几何区域

②几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。

③几何概型在中学阶段主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。

6．教学环节（6）布置作业

P137习题3.3

A组

1（2）（4）；2（3）（4）；3

七、板书设计

课题:3.31几何概型

古典概型 几何概型

特点:（1）有限性。 （1）无限性。

（2）等可能性。 （2）等可能性。

计算公式 P(A)=ml(S,V) P(A)=AAA nl（S,V）

5

习题详解: 八、教后反思

1．

你认为本节课讲得最好的地方是什么？为什么？

在引入这部分我觉得做的相对比较好。如果在教学中直接给出本节课要学习的内容，直接给出定义，给出计算公式，学生的印象不会够深刻，学习积极性相对来说也会比较低。此次我采用发现式教学，我在课堂中只是起引导作用，不论定义还是特点或者是计算公式，这些的形成都是有学生的参与。提出有限到无限引起学生兴趣，再通过创设问题情境不断引导学生得出本节课的重要知识点。更有助于学生的吸收。并且所取例子都是来自生活，学生能感受到生活中处处都有数学的存在。激起学生对数学学习的兴趣

2．

你认为本节课有哪些不足之处？为什么？

在讲解习题的时候从实际背景中抽象出几何区域这一块讲解的可能不是很到位，语言组织能力不够。另外，在数学软件使用这一块不够熟练，这节课如果能够多加点计算机模拟验证的话相信会更好。还有板书这方面字迹不够好

九、其它需要补充说明的事项

还需多锻炼多学习

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