2. 波速与波长、频率的关系教学设计(第一课时)

第十二章

机械震动

机械波

第1单元机械振动

[想一想] (1)简谐运动的图象和简谐运动的轨迹相同吗？为什么？

(2)简谐运动的位移与必修1中所学的直线运动的位移有何区别？

11(3)在一个周期T内，质点的路程与振幅有何关系？T、T呢？

24[提示]

(1)不同。简谐运动的图象描述的是振动质点的位移(一个物理量)随时间变化的规律，而简谐运动的轨迹是质点运动的径迹。

(2)简谐运动的位移是以平衡位置为参考点，与位置对应，是时刻的函数，总是从平衡位置指向质点所在的位置；直线运动的位移是以物体的初始位置为参考点，与过程对应，是时间的函数，是从初始位置指向物体所在的位置。

11(3)一个周期T内，路程等于4个振幅，T内路程等于2个振幅，但T内路程可能等于1个振幅，也可能24小于一个振幅，也可能大于一个振幅。

[记一记] 1．概念

质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线。

2．简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相位。

3．回复力

(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。

(2)方向：时刻指向平衡位置。

(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力。

4．简谐运动的图象

(1)振动图象表示的是简谐运动的质点偏离平衡位置的位移与时间的关系，是一条正弦(或余弦)曲线，如图所示。

(2)由振动图象可以确定质点振动的振幅和周期，以及任意时刻质点的位移、振动方向和加速度的方向。如图所示，t1时刻质点P的运动方向沿x轴负方向。

[试一试] 1.一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是(

) A．0～0.3 s B．0.3～0.6 s C．0.6～0.9 s D．0.9～1.2 s 解析：选BD

质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反。

[想一想] 蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到丝网的振动，当丝网的振动频率为f＝200 Hz左右时，网的振幅最大。对于落在网上的昆虫，当其翅膀振动的频率为多少时，蜘蛛能立即感知到它。

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[提示]

200 Hz [记一记] 1．受迫振动

(1)概念：系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动。

(2)振动特征：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。

2．共振

(1)概念：驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。

(2)共振条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。

(3)特征：共振时振幅最大。

(4)共振曲线：如图所示。

[试一试] 2．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是(

) A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小

B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f 解析：选BD

受迫振动的频率总等于驱动力的频率，D正确；驱动力的频率越接近固有频率，受迫振动的振幅越大，B正确。

[想一想] 单摆做简谐运动的回复力由哪些力来提供？摆球在平衡位置时所受合外力和回复力是否为零？

[提示]

单摆做简谐运动的回复力是由重力沿轨迹切线方向的分力提供的。

摆球在平衡位置时所受合外力等于小球做圆周运动的向心力，不为零，而回复力恰好等于零。

[记一记] (1)单摆的振动可视为简谐运动的条件是最大摆角小于10°。

(2)单摆做简谐运动的周期公式：T＝2π l。单摆做简谐运动的周期(或频率)跟振幅及摆球质量无关，摆g长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速率。

(3)秒摆的周期为2 s，根据单摆周期公式，可算得秒摆的摆长约为1 m。

[试一试] 3．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(

) A．增大摆球质量

B．缩短摆长

C．减小单摆振幅

D．将单摆由山下移到山顶

解析：选D

由单摆的周期公式T＝2πl可知，g减小时周期会变大，正确选项为D。

g简谐运动的五个特征

1．动力学特征

F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征

简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征

相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征

T(1)相隔或2

＋2(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相- 62 -

等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。

5．能量特征

振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

4[例1]

一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝

s时刻x＝30.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为(

) 8A．0.1 m，

s

B．0.1 m,8 s 38C．0.2 m，

s

D．0.2 m,8 s 3[审题指导] (1)简谐振子运动的对称性和周期性；

(2)当两时刻振子的位移相同，则两时刻的差可能为周期的整数倍，也可能不是周期的整数倍。

[尝试解题] 418若振子的振幅为0.1 m，(s)＝(n＋)T，则周期最大值为

s，A项正确，B项错；若振子的振幅为0.2 m，323由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再4148经n个周期时所用时间为

s，则(＋n)T＝(s)，所以周期的最大值为

s，且t＝4 s时刻

x＝0.1 m，故C323341项正确；当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为

s，则(＋n)T364＝(s)，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时，x＝0.1 m，故D项正确。

3[答案]

ACD 1.图象特征

(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。

(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿x轴负方向。

2．图象信息

(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴。

②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴。

[例2]

一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是(

) [尝试解题] 弹簧振子做简谐运动，由回复力公式F＝－kx，结

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合牛顿第二定律F＝ma可知，经四分之一的周期有沿x轴正方向的最大加速度，则其位移为负的最大值。t＝0时刻振子应该自平衡位置向x轴负向运动，故选项A正确。

[答案]

A

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