信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优质课教案设计

课题：函数yAsin(x)的图象

云南省下关第一中学 杨相元

一、教学理念

新的课程标准明确指出

“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值。

因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变。

二、教材分析

1、教材内容

本节课是人教（A）版必修④第一章《三角函数》§1.1.5函数yAsin(x)的图象第三课时，本节课主要通过实验探究正确找出函数ysinx到yAsin(x)的图象变换规律。

2、教材所处地位、作用

三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数yAsin(x)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、、的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、特殊到一般、数形结合、归纳转化等数学思想方法。

3、教学目标

【知识与技能】

理解三个参数A、、对函数yAsin(x)图象的影响，通过“五点作图法”正确找出函数ysinx到yAsin(x)的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数yAsin(x)的简图，能举一反三地画出函数yAsin(x)k和yAsin(x))的简图。

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【过程与方法】

通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整，突破图象变换的难点，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法，培养学生分析、抽象、概括的能力。

【情感态度与价值观】

课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生勇于探索和独立思考能力；小组交流中，培养学生善于合作的意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

4、重点与难点

教学重点：由正弦曲线变换得到函数yAsin(x)的图象。

教学难点：当ω1时，函数y1Asin(ωxφ1)与函数y2Asin(ωxφ2)的图象关系。

教学关键：理解三个参数A、、对函数yAsin(x)图象的影响。

三、教法分析与学法指导

本节课是知识容量较大，并且涉及到很多图象变换的知识，要求学生操作实践和自主探究的东西很多，因此，教法上要注意：

1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性。

2、通过构建学生自主探究的学习环境，提高学生主体参与意识，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体体现在设问、讲评、规范书些和组织小组探讨等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，规范书面表达。

4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，构建学生自主探究的教学环境，增大教学容量和提高图象变换的直观性。

在学法上：

1、让学生从问题中质疑、观察、尝试、交流、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．

2、让学生利用图形直观启迪思维，并通实践操作，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃。

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四、教学过程

整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境

动画演示：

《用弹簧振子演示简谐运动的图象》

【设计意图】把物理学中遇到的问题（日常生活问题）简谐振动拿来作为数学研究的对象，通过观察小球运动时位移随时间变化的关系，利用计算机形象地把此关系反映到图象上就形成了正弦曲线，引出函数yAsin(x)的图象，从而使物理现象和数学图象有机地结合起来，体现该函数图象与生活实际的紧密联系，激发学生研究该函数图象的兴趣。

同时，引出本节课的研究问题——函数yAsin(x)的图象与正弦曲线有什么关系呢？此问题情景的创设有助于培养学生从具体的实例到抽象的数学图形的思维过程。

（二）建构数学

1、复习巩固

评讲作业——作出函数y3sin(2x)在一个周期内的简图。

3【设计意图】以作业讲评的方式复习巩固“五点作图法”，既复习了旧知，又为学生准确使用本节课将要用到的工具提供必要的保障．并以函数y3sin(2x那么这个函数图象，恰可作为后面变换结果的检验依据。

2、自主探究

由ysinx曲线如何变化得到函数y3sin(2x3)作为具体研究对象，3)的图象？

【设计意图】观察函数解析式y3sin(2x)学生容易发现三个参数A、、都发生了3变化，由此提出参数A、、对函数yAsin(x)图象有怎样的影响？

通过精心制作交互式课件，结合我校多媒体网络教学环境，我为学生提供了这样的探究平台，在这个平台中我给出了正弦曲线一个周期内的图象，并通过动画演示，由学生自主探究得出参数A、、对函数yAsin(x)图象的影响。

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探究一：函数yAsinx的图象，研究A对ysinx图象的影响。

结论：A的变化引起图象形状的变化

——“纵向伸缩”。

振幅变换ysinxyAsinx（A0且A1）

小结：把ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短(当0A1时)到原来的A倍（横坐标不变）得到yAsinx的图象。

探究二：函数ysinx的图象，研究对ysinx图象的影响。

结论：的变化引起图象形状的变化

——“横向伸缩”。

周期变换ysinxysinx（0且1）

小结：把ysinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长（当01时）到原来的1倍（纵坐标不变）得到ysinx的图象。

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探究三：函数

ysin(x)的图象，研究对ysinx图象的影响。

结论：的变化引起图象左右位置的变化（图象形状不变）。

相位变换ysinxysin(x)

0小结：把ysinx的图象上所有的点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动个单位得到函数

ysin(x)的图象。

【设计意图】计算机辅助教学在提高学生研究问题的兴趣及课堂效率上起到了很好的效果，其优势就在于给学生创设了想象的空间，培养了学习的自主性，使学生敢于探索，勇于创新，而大胆的猜想往往是科学成就的前奏。在探索过程中，也进一步培养了学生对事物的认识规律：从特殊

→

一般

→特殊。通过三个探究实验，让学生从画面较真实地感受和发现三个参数A、、对函数yAsin(x)的影响，并从中体会到发现的乐趣，从而提高学习的积极性。

实验探究：三种变换能否任意排序？

步骤：个人实验→小组（合作）讨论→得出结论。

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结论：

经过尝试、观察和小组探讨得出结论：三种变换可以任意排列，但需要注意不同顺序中平移量的不同。

归纳总结：

①

由正弦曲线变换到函数yAsin(x)的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单位。

②

常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。

【设计意图】该实验探究的教学有利于学生养成在解决新问题或复杂问题时，利用已有知识或简单问题来分析概括的能力，有助于学生的知识迁移能力的培养及提高学生综合应用所学知识解决问题的能力。

（三）知识运用

【典例讲解】

【例】

作函数y =3sin（2x+）的图象。

解：（法一）“五点作图法”

（法二）函数图象变换法

【设计意图】通过两种解法的对比，让学生体会一题多解，殊途同归，进一步开拓了学生的视野，并且体会两种方法的异同。通过教师的板书，进一步规范学生的书面表达。

3【巩固强化】

请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？ 1、y1sin(4x) 2、y2sin(1x)

2336变式训练：

1、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y2sin(4x2)的图象，只需把C的533所有点（ ）

A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变

10C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的1倍，横坐标不变

102、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y1sin(x2)的图象，只需把C的5353所有点（ ）

A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变

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C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的1倍，横坐标不变

43、已知函数y1sin(4x2)的图象为C，为了得到函数y1sin4x的图象，只需把C的所有535点（ ）

A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度

66C、向左平移2个单位长度 D、向右平移2个单位长度

33（四）归纳总结（师生共同归纳）

1、正弦曲线变换得到函数yAsin(x)的图象——顺序可任意，平移要注意；常常是平移、周期再振幅；

2、余弦曲线变换得到函数yAcos(x)的图象——作法全相同。

（五）巩固作业

感受·理解：

1、由正弦曲线经过怎样的变化可以得出下列函数的图象。

1π1①ysin(2x) ②y2cos(x)

3624思考·运用：

2、函数yf(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移y1sinx的图象，试求函数yf(x)的解析式。

2π个单位，所得到的曲线是2

教学设计说明

本节课是人教（A）版必修④第一章《三角函数》§1.1.5函数yAsin(x)的图象第三课时，本节课主要学习通实验探究正确找出函数ysinx到yAsin(x)的图象变换规律。它是函数图象伸缩平移变换的特例，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数yAsin(x)的图象的一种思维过程。

按照传统方法解决这一问题，每一种变换方式，教师要手绘四条函数图象，彻底解决这一问题，有6种情况，24条图象，这对教师的作图能力提出很高的要求；同时，也要求学生有较强的理解能力，从静态的图片中去体会伸长和缩短的形变过程。

针对以上难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：

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1、将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：“五点作图法”与图象变换。

2、我精心设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程。化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。同时结合我校多媒体教室教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。

3、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生在三种变换顺序上的难点，通过实验探究，合作讨论，发现和得出结论．

4、重视学生的动手实践过程．构建学生自主探究的平台，通过实验探究，得出结论．

5、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．

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