小结教学设计一等奖

平面向量小结

——平面向量与三角形的四心

一、

学习目标

1、在进一步理解向量的有关概念. 2、掌握用向量方法解决三角形的“内心、外心、重心、垂心”问题. 3、通过用向量方法解决几何问题的过程，培养学生观察、分析、判断的习惯，战胜困难的信心，培养克服困难，寻求解题捷径的能力和不折不挠的人生价值观. 二、

教学重点

1、平面向量基本定理的运用. 2、用平面向量知识解决三角形的四心问题. 三、

教学难点

灵活运用向量知识解决三角形的四心问题. 四、

教学方法

设置情境，使学生在合作学习所营造的特殊合作，互助的氛围中增进彼此间的感情交流，培养了彼此间的合作与协作精神，体现素质教育，促进学生在学习上互相帮助，共同提高. 五、

教学过程

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：

1．“四心”的概念与性质

(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，1则当点G是△ABC的重心时，有GA＋GB＋GC＝0或PG＝(PA＋PB＋3PC)(其中P为平面内任意一点)．反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y33. (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA＋BC＝HB＋CA＝HC＋AB.反之，若HA·HB＝HB·HC＝222222HC·HA，则H是△ABC的垂心．

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的

圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0.反之，若|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0，则点I是△ABC的内心．

(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或|若|OA|＝|OB|＝|OC|，则点O是△ABC的外心．

OA|＝|OB|＝|OC|.反之，2．关于“四心”的典型例题

[例] 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

[解析] 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．

变式1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(

ABAB

＋

ACAC

)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

变式2、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(

ABAB ＋

ABAB )，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

变式3、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(

ABAB ＋

ABAB )，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

变式

已知△ABC内一点O满足关系2OA＋OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB

之值．

[解] 延长OA至A1，使AA1＝OA，延长OC至C1，使CC1＝3OC，连接AC1，A1C1，如图所示，

则

＝2 ，OC1＝3OC，由条件，得

+

，所以点O是△1

BC1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝S，其中S表示△

BC1的面3积，

11111

所以S△COA＝S，S△AOB＝

S，S△BOC＝S△B1OC＝×S△B1OC1＝S. 182339111于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝2∶1∶3. 9186[点评] 本题条件2OA＋OB＋3OC＝0与三角形的重心性质GA＋GB＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．

作业：已知△ABC内一点O满足关系λ1OA＋λ2OB＋λ3OC＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.