2.5.2 向量在物理中的应用举例优秀教案案例

2.5.2 向量在物理中的应用举例

四川省华蓥中学 胡仁友

教材分析

向量概念的原型是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．[来源:学&科&网]

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．

教学目标

⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．[来源:学科网ZXXK]

⒉培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．

⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．

教学重难点

教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算。

教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。 教学过程

一、知识点梳理

1. 两个向量的数量积：

ab

|a||b|cos

.

2. 平面两向量数量积的坐标表示: abx1x2y1y2.

3. 向量平行与垂直的判定: a//bx1y2x2y10. abx1x2y1y20.

22|AB|(xx)(yy)12124. 平面内两点间的距离公式：

5. 求模：

aaa

ax2y2

a(x1x2)2(y1y2)2

二、典题探究

例1.

在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？ 分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四边形法则，力的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=|G|2cos2．

通过上面的式子我们发现，当由0~180逐渐变大时，由0~902逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费2力，夹角越小越省力．

请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

解答：当0时，|F1|最小，最小值是

例2. 一条河的两岸平行,河的宽度d=500m, 一艘船从

A处出发到河的正对岸B处, 船航行的速度|v1|=10 km/h, 水流速度|v2|=4 km/h,那么v1与v2的夹角θ(精确到1°) 多大时,船才能垂直到达对岸

B 处?船行驶多少时间 (精确到0.1min)? 1|G|，当120时，|F1|=|G|．

2

分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向。

解:

v所以 tv1v296km/h

d0.5603.1min

v9622答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min

三．跟踪训练

1 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103 km/h，求小船的实际航行速度．

解

设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作→OA＝a，→OB＝b，→→→→→以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则OC＝a＋b，并且OC即为小船的实际航行速度．

∴|→OC|＝(a＋b)2＝a2＋b2＝20(km/h)，

103tan ∠AOC＝＝3，

10∴∠AOC＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．

2、一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(

) A．6

C．23 【答案】D B．2 D．27

ZXXK]

四、课时小结:[来源:Z|xx|k.Com]

⑴用向量知识解决物理问题的一般思路是：

转化利用得到向量运算物理问题的结论．

物理问题数学问题

⑵力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来．