2.5.2 向量在物理中的应用举例课堂实录【2】

高中数学探究性教学案例

----向量在物理中的应用

永顺一中高一数学备课组

三维目标

1．知识与技能

通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明确向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和向量运算的认识．

2．过程与方法

①体会向量是一种处理物理问题的工具，提高解决物理问题的能力．

②掌握用向量方法解决物理问题的基本方法；向量法解决物理问题的“四步曲”．

3．情感、态度与价值观

通过对具体物理的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学的应用价值、科学价值．

重点：用向量方法解决物理问题的基本方法；向量法解决物理问题的“四步曲”．

难点：物理问题转化为向量问题．

问题导思

一、向量知识主要是以物理知识为背景抽象出来的，物理中的动量mv，功Fs是向量中的什么运算？

提示：

∵m是标量，v是矢量，

∴mv为数乘运算；F和s均为矢量，

∴Fs为数量积运算．

1．物理问题中常见的向量有力，速度，加速度、位移等．

2．向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解．

二、在我们的日常生活中，我们会有这样的体验：两个人一起提一个又大又重的旅行包，两人手臂的夹角越大会越吃力，你能用本节知识解释这个问题吗？

思路探究

可以把以上问题抽象为如图所示的数学模型，只要分析清楚F、G、θ的关系(其中F是F1、F2的合力)，就可以解释这个问题．

自主解答

设|F1|＝|F2|，由向量求和的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识，可得：|F1|＝θ. 2cos 2|G|θθ由此可知：当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos 的22值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，故两个分力F1、F2之间的夹角越大越吃力，夹角越小越省力．

学生探究规律方法

1．解力的向量问题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．

2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．

例题讲解

（1）、在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．

分析：注意到两根绳子的夹角为90°，因此可把问题转化为解直角三角形．

【解】

作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90 →→|OA|＝|OC|cos 30°＝1503(N)，

→→|AC|＝|OC|·sin 30°＝150(N)，

→→|OB|＝|AC|＝150(N)．

答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子

的拉力是150 N. 解决力学问题的向量处理方法：

1、解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型．利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象．

2、向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．

（2）、一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实行速度．

→→→解：如图所示，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC表→示船实际速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5 km/h. →→∵四边形OACB为矩形，|OA|＝|AC|cot 30°

→＝|OB|.cot 30°＝5 3(km/h)≈8.66(km/h)．

→|OC|＝→|OB|＝10(km/h)．

sin 30°∴水流速度为8.66 km/h，船实际速度为10 km/h. 解决速度、位移问题的向量处理方法：

a．向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决向量问题，最后再获得物理结果．

b．用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法，有时也可借助坐标来求解．

课堂小结：

用向量知识解决物理中相关问题

一般来说分为四步：

(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；

(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；

(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.