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1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是________的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________________的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为________________，简称古典概型．

(1)试验中所有可能出现的基本事件________________；

(2)每个基本事件出现的可能性________．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝________. 4．古典概型的概率公式

P(A)＝________________________________________________________________________. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(

) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(

) (3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(

) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能

1性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(

) 3(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(

) (6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的n基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(

) m

1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

) 1111A.

B.

C.

D.

23462．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(

) 1289A.

B.

C.

D.

5525253．(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

) 3111A.

B.

C.

D.

10510204．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．

5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．

题型一

基本事件与古典概型的判断

例1

(1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：

①试验的基本事件；

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；

③事件“出现点数相等”包含的基本事件．

(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．

①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

思维升华

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

下列试验中，古典概型的个数为(

) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

A．0

B．1

C．2

D．3 题型二

古典概型的求法

例2

(1)(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(

) 51011A.

B.

C.

D．1 212121(2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．

引申探究

1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．

2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．

思维升华

求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

(1)(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(

) 1125A.

B.

C.

D.

3236(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. ①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

题型三

古典概型与统计的综合应用

例3

(2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．

思维升华

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区

数量

A 50

B 150

C

100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

六审细节更完善

典例

(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

(1)基本事件为取两个球

↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来

↓

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4

(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓

{1,2}，{1,3} ↓利用古典概型概率公式求解

21P＝＝

63(2)两球分两次取，且有放回

↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示

↓

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) ↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号) n

↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n≥m＋2的概率

↓

n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓

3P1＝

16↓

注意细节，P1＝3是n≥m＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率

1613n

规范解答

解

(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个．

21因此所求事件的概率P＝＝.[4分]

63(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]

又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，

3所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.[10分]

16故满足条件n

3131－P1＝1－＝.[12分]

1616提醒：完成作业

第十二章

§12.2

答案精析

基础知识

自主学习

知识梳理

1．(1)互斥

(2)基本事件

2．古典概率模型

(1)只有有限个

(2)相等

1m3.

nn4.A包含的基本事件的个数

基本事件的总数思考辨析

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)√

考点自测

351．B

2.B

3.C

4.

5.

56题型分类

深度剖析

例1

解

(1)①这个试验的基本事件为

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为

(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

③事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

(2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．

又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．

②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，

1又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，

115故一次摸球摸到白球的可能性为，

11

3同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，

11显然这三个基本事件出现的可能性不相等，

所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．

跟踪训练1

B 51例2

(1)B

(2)

(3)

612引申探究

1．解

基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，

42所以P(A)＝＝. 63112．解

基本事件数为C4C4＝16，

111颜色相同的事件数为C12C1＋C2C2＝6，

63所求概率为＝. 168跟踪训练2

(1)C (2)解

①由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，

则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．

31所以P(A)＝＝. 2791因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. 9②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．

38所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝. 2798因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 9例3

解

(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；

受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又1因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝. 10跟踪训练3

解

(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是61＝，

50＋150＋10050111所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2. 505050所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．

4所以P(D)＝，

154即这2件商品来自相同地区的概率为. 15