复习参考题优秀公开课教案

双师课堂之简单的线性规划问题复习教案

陆河中学：朱少伟

【考点及要求】

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

【比较斜率大小】

，l，

直线l1，l23l4的图象如图所示，1，2，3，4依次是它们的倾斜l，l2，l3，l4的斜率.试按从小到大的顺序排列角．k1，k，k，k分234别是1k1，k2，k3，k4。

解0<1<2<，<3<4<

22tan2tan10；tan3tan40.

k3k40k1k2.

小结：当0<<当2时，越大，斜率越大，直线越陡；

2<<时，越大，斜率越大，直线越平缓；

【考点一:线性目标函数的最值问题】

xy10例1：若x0则目标函数z＝x＋2y的最大值是_____．

y0解析

可行域如图所示，

xz∵z＝x＋2y，∴y＝－＋，

221∵－>－1，

2∴当直线z＝x＋2y经过点B(0,1)时，

z取到最大值，且zmax＝2.

1

xy60例2：已知x，y满足不等式xy0

x3xy0xy60y6

C4

求（）1z2xy的最大值和最小值；

（2）z2xy的最大值和最小值；解:(1).做出可行域如图所示，并求出交点坐标

4

A622O24x2A(3,3)、B(3,3)、C(3,9),

Bx3作直线l1:y2xz

当直线l1平移到过C点时，z2xy有最大值，zmax23915

当直线l1平移到过A点时，z2xy有最小值，zmin2(3)33

（2）作直线l2:y2xz

当直线l2平移到B点时，z2xy有最大值zmax23(3)9.

当直线l2平移到A点时，z2xy有最小值zmin2(3)33.

点评：

(1)注意截距与目标函数中Z的关系

(2)小技巧：如果区域是封闭图形，解交点的坐标，代入求解，通过比较大小判断目标函数的最大值最小值。

(3)若不是封闭图形，能否直接代入3个点比较大小？

(4)求线性目标函数最值的步骤：①、画边界直线；②、确定区域；③、若封闭区域，代入交点比较大小；若不封闭，画目标函数的平行直线判断在何时有最大值。

【对点训练】

x2y21.设变量满足约束条件2xy4，则目标函数的取值范围是(　　)，则目标函数

4xy1z3xy的取值范围是 ( ) 333A.[,6]　　

B.[,1]　

C.[1,6]　

D.[6,]

222

2

【考点二:非线性目标函数的最值问题】

一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如：

①z＝x2＋y2表示可行域中的动点x，y到原点距离的平方；

（a，b）②z＝x－a＋y－b表示可行域中的动点x，y到定点距离的平方；

③z=22yb（a，b）表示可行域内的动点(x，y)与定点连线的斜率；

xaxy60,

例3：已知x,y满足不等式xy0x3求(1)zx2y2的最大值和最小值;

(2)z

解: y的最大值和最小值;

x4(1)、zx2y2表示一组同心圆圆心为原点O，且在同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C(3,9)点时，z最大，过(0,0)时，z最小．

所以zmax329290,zmin02020.

（2）zyy0＝表示可行域内任一点与定点M（4，0）的斜率，

x4x4绕定点（4，0）旋转可知，KMB最大，KMC最小

所以z最大值30903，z最小值93434

【对点训练】

x－y＋5≥0，2.设x，y满足条件x＋y≥0，x≤3.

（1）求z4xy的最大值与最小值；

(2)求u＝x＋y的最大值与最小值； 22

3

（3)求v=y的最大值与最小值．

x5[解] 画出满足条件的可行域如图所示，

（1）把　z4xy变形为y＝－4x＋z，则得到斜率为－4，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点C时，截距z最大，又C(3,8) ，所以z最大值＝14 (2)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0. (3)v＝y表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最x－5小，又C(3,8)，B(3，－3)，

－338所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4. 3－523－5

【课后作业】

xy201．已知x,y满足约束条件xy40．则zx2y4的最大值为________； 2xy50x4y30y2.变量x,y满足3x5y250，设z求z的最小值为 xx1zx2y210y25的最小值为__________；z

y1的取值范围为________________． x1

4