复习参考题课时教学实录

第一章《三角函数》教学设计（复习课）

【教学目标】

１．任意角的概念与弧度制；任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2．同角三角函数的关系（sinxcosx1，3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质；

4．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等；

5．函数yAsin(x)的实际意义；函数yAsin(x)图象的变换（平移平换与伸缩变换）；

6.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【导入新课】

复习回顾本章知识

新授课阶段

一、同角三角函数基本关系式的运用

例1

若tan2，求：（1）2来源:&@中国教育出^%*版网

22sinxtanx），诱导公式；cosx来源~:#中^@国%教育出版网

sincos的值；

cossin2（2）2sinsincoscos的值．

解：（1）cossin1tan12322；

cossin1tan122sin2sincoscos22tan2tan1（2）原式

sin2cos2tan2142152. 331,,,求cossin的值．

8422例2

若sincos2解：(cossin)cossin22sincos1143，

4,,cossin.42cossin3.2

sin()cos(2)tan(3)2例3

已知f()．

tan()sin()2（1）

化简f()；来源%:zzs#tep&@.com]

（2）

若是第三象限的角，且cos(（3）

若1860，求f()的值．

031)，求f()的值；

25coscos(tan)cos. tancos3)sin，

（2）cos(21sin,又是第三象限的角. 5解：（1）f()cos=-1sin2101226,f()6. 255500（3）18606360300，

f()f(18600)cos(18600)

1cos(636003000)cos600. 2二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用

例4

求下列函数的定义域：

（1）f(x)3tanx；（2）f(x)tan(sinx)；（3）f(x)2cosx1．

lg(tanx1)解：（1）由3tanx0，得tanx3，∴k∴f(x)的定义域为(k（2）∵2xk3(kZ)．

,k](kZ)．

2321sinx12，∴xR．即f(x)的定义域为R．

1cosx,2cosx10,2lg(tanx1)0,tanx0,（3）由已知tanx10,得

tanx1,xk(kZ),xk(kZ).22

2kx2k,33∴xk,(kZ)

kxk.42∴原函数的定义域为(2k例5

求下列函数的周期：

,2k)(2k,2k)(kZ)．

43sin2xsin(2x)cos4xsin4x3；（1）y（2）y2sin(x)sinx；（3）y．

2cos4xsin4xcos2xcos(2x)31sin2xsin2x2解：（1）y1cos2xcos2x2∴周期T33sin(2x)cos2x6tan(2x)，

2633cos(2x)sin2x62[来源学科网]2．

（2）y2sinxcosxsin2x，故周期T．

（3）y1tan4xtan(4x)，故周期T．

1tan4x44ππ例6

已知函数f(x)=3sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)．

612(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

ππ解:(1) f(x)=3sin(2x－)+1－cos2(x－)

612= 2[3π1πsin2(x－)－

cos2(x－)]+1 212212ππ=2sin[2(x－)－]+1 126π=2sin(2x－)+1，

32π∴ T=

=π. 2πππ

(2)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有2x－

=2kπ+.332即x=kπ+ 来源:*中国教育出版网@^%]

5π5π

(k∈Z).∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ,k∈Z}. 1212例7

判断下列函数的奇偶性：

（１）f(x)sin2xtanx；

(2 ) f(x)1sinxcosx；

1sinxcosx

(3 )

f(x)cos(sinx)；

(4 ) f(x)lgcosx．

解：（1）f(x)的定义域为xk2(kZ)，故其定义域关于原点对称，

又f(x)sin(2x)tan(x)sin2xtanxf(x)，

f(x)为奇函数. （2）x2时，1sinxcosx2，而x2时,1sinxcosx0，

f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数. （3）f(x)的定义域为R，又f(x)cos(sin(x))cos(sinx)f(x)，

f(x)为偶函数. （4）由lgcosx0得cosx1，又cosx1

cosx1，故此函数的定义域为

x2k(kZ)，关于原点对称，此时f(x)0.f(x)既是奇函数，又是偶函数.

中国教育@出版&%网~]

例8

已知:函数fxlog1sinxcosx．

2(1)求它的定义域和值域；

(2)判断它的奇偶性；

(3)求它的单调区间；

（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:(1).由sinxcosx02sinx0，

4442kx452k

(kZ).定义域为2k,2kkZ.

12sinx0,2，值域为,.

42(2) 定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数. （3）sinxcosx2sinx0，

4

f(x)的递增区间为[2k35,2k)(kZ)，

443](kZ). 递减区间为(2k,2k44(4) fx2log1sinx2cosx2log1sinxcosxfx，

22f(x)是周期函数,最小正周期T2.

来源:^中教%@#网例9

已知函数f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x，xR．求: (I)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；

(II) 函数f(x)的单调增区间．

解：(I)f(x)1cos2x3(1cos2x)sin2x1sin2xcos2x22sin(2x),

224当2x42k2,即xk8(kZ)时, f(x)取得最大值22. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/xR,xk

(II) f(x)22sin(2x由题意得: 2k即: k8(kZ)}. 4). 22x42k2(kZ)，

3xk(kZ). 883,k](kZ). 88因此函数f(x)的单调增区间为[k三、函数yAsin(x)的图象与变换

例10

已知函数f(x)2cos2x3sin2x,(其中01)，若直线x一条对称轴.（1）试求的值；（2）作出函数f(x)在区间[,]上的图象．解：（1）f(x)2cos2x3sin2x1cos2x3sin2x

3为其来@源:zzstep*%.&~com]2sin(2x)1. 6x3是yf(x)的一条对称轴，sin(2)1. 36

213k,kZ,k(kZ). 36222101,.

2（2）用五点作图

例11 已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,0值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．

（I）求；

（II）计算f(1)f(2)222)，且yf(x)的最大f(2008)．

AAcos(2x2).22解：（I）yAsin(x)yf(x)的最大值为2，A0. AA2,A2.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，2212()2,.

22422f(x)cos(x2)1cos(x2).2222yf(x)过(1,2)点，

cos(2)1.22k,kZ,22k,kZ,

222k4,kZ,又02,4. （II）4，y1cos(x)1sinx.

222f(1)f(2)f(3)f(4)21014. 又yf(x)的周期为4，20084502，[来源学科网]

f(1)f(2)f(2008)45022008.

例12设函数f(x)3cos2xsinxcosxa（其中0,aR）.且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如果f(x)在区间[．6[来源学科网Z,X,X,K]

5,]上的最小值为3，求a的值．

36解：（I）f(x)3133cos2xsin2xsin(2x)a

22232

依题意得

26321．

2（II）由（I）知，f(x)sin(x3)53．又当x[,]时，

362x3[0,71π5π]，故sin(x)1，从而f(x)在区间，上的最小值为6233613313a，故a.

222四、三角函数的运用

例13

某港口水的深度y（米）是时间t(0t24，单位：时）的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据：

t时

0 3 6 9 12 15 18 21 24

来源:~中国教育%*出版&网@]y米

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，yf(t)的曲线可以近似地看成函数yAsinxb的图象. （1）试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式，

（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

解：（1）由已知数据，易知函数yf(t)的周期T=12，振幅A=3，b=10，y3sin6t10

（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米. 3sin6t1011.5,sin6t15(kZ). ,解得:2kt2k266612k1t12k5(kZ),在同一天内,取k0或k11t5,或13t17. ∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时. 例14如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地

面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时，

（1）

求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）

在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于

地面的高度不超过10米？

解：（1）以Ｏ为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为故在t秒时此人相对于地面的高度为y10sin（2）令y10sin来源:zzs%t&ep~#.c@om]

22t，t，所以t秒时，Q点的纵坐标为2020t12（米）. 1010t1212，则sin1t. 1050t20,10.64t19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.例15 如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值. 解：如图，连结AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，

则AM90cos,MP90sin，

00PQMBABAM10090cos，

PRMRMP10090sin，故矩形PQCR的面积

SPQPR(10090cos)(10090sin)

100009000(sincos)8100sincos.

设sincost(1t2),则sincos12(t1)，

2S

当t81001010(t)2950，故当t时，Smin950(m2). 2992时，Smax1405090002(m2).来源中国教^*@育出版网%]

例16．将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.

来&源:#中教^%网~]

[来源学科网ZXXK]

解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设MOA，则

MP20sin,OP20cos，所以矩形OPMN的面积

S400sincos200sin2,即当4时，Smax200. 按图(2)的裁法：矩形一边PQ与弦AB平行，设MOQ，在△MOQ中，

OQM9003001200，则正弦定理得：MQ又20sin403sin. sin12003MN2OMsin(600)40sin(600)，

160031600331sinsin(600)sin(cossin)

3322来源^:中~#&教网*]SMQMN1600331cos280034003. (sin2)sin(2300)344334003.3



当300时，Smax[www^.#z&zstep*.c@om]由于40034003cm2.

200，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为33课堂小结

主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方

法就是数形结合思想和分类讨论思想. 作业来源中国教育^%出版网~@]

见同步练习

拓展提升

1．若sin,cos354,则角2的终边在

（

）

5中国教育出版&#网~@]A．第一象限

B．第二象限

Ｃ．第三象限

Ｄ．第四象限

２．已知sink1,cos43k，且是第二象限角，则k应满足的条件是(

) 48

Ｂ．k1

Ｃ．k

Ｄ．k1

351sinx1cosx,那么３．已知的值是

（

）

cosx2sinx111A．

B．

Ｃ．２

Ｄ．－２

22A．k来源#*:中国%教育出~&版网4. 给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是；②图象关于点（，0）对称

（

）

6

（A）ycos(2x)（B）ysin(2x)

（C）ysin()

（D）ytan(x)

6663x25．为了使函数ysinx(0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则的最小值是（

）

（A）98

（B）197199

（C）

（D）10022来源:zz@s&te~p.c%o#m]

6.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－A.21

2ππ，］上的最小值是

（

）

44

B.－12

C.－1 2

D.12

27．函数f(x)=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是

（

）

ππA．φ=2kπ－

，k∈Z

B．φ=kπ－

，k∈Z

66ππC．φ=2kπ－

，k∈Z

D．φ=kπ－

，k∈Z338．在ABC中，C是

（A）（C）f(cosA)f(cosB)

f(sinA)f(cosB)来&源:^zzstep.c#~o%m]

2，若函数yf(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的

（B）f(sinA)f(sinB)

f(sinA)f(cosB)

（D）

9.同时具有性质“⑴

最小正周期是；⑵

图象关于直线x是增函数”的一个函数是(

)

A．ysin(3对称；⑶

在[,]上63x)

B.ycos(2x)

263C．ycos(2x6)

D.ysin(2x6)

10．若把一个函数的图象按a（，－2）平移后得到函数ycosx的图象，则原图3来源:z&z*step.com%~@]象的函数解析式是

（

）3

3

（A）ycos(x)2

（B）ycos(x)2

（C）ycos(x)2

（D）ycos(x)2

3311．为了得到函数y=sin（2x－A.向右平移C.向左平移

π个单位长度

6π个单位长度

6π）的图象，可以将函数y=cos2x的图象

（

）

6

B.向右平移D.向左平移π个单位长度3来源^:中国%教育&*出版网

π个单位长度

312．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是

（

）

y1πA.ω=1，=

2O-333

B.ω=1，=－π1πx

C.ω=，=

236D.ω=1π，=－

2613．若函数f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移1个单位，向下平移3个单位，恰好得到ysinx的图象，22则f(x)

．

14．函数yAsin(x),(A0,0)为奇函数的充要条件是

；为偶函数的充要条件是

．

15．一正弦曲线的一个最高点为(,3)，从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于141(,0)，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为

. 4

16．已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围.

17．数yAsin(x),(A0,0,||)的最小值是2，其图象相邻最高点与2最低点横坐标差是3，又图象过点(0,1)，求函数解析式. 来源~@#:*zste&p.com]

[www@#.zzst%e~*p.com]

18．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，1并当x=时，f(x)max2.

3来源:zzs*tep.co#~^m@]（1）求f（x）. （2）在闭区间［2123，］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；44如果不存在，请说明理由.

参考答案

1．Ｄ

提示；由sin22sincos240,

25cos2cos2sin270可得

252．Ｃ

提示：由sin0,cos0及sin2cos21可得．

1sinxsinx1sin2x11

4．D 3．Ａ

提示：cosxcosxcos2x5．B

提示:4911972π197π×T≤1，即×≤1，∴ω≥.

442来源中@国教育出%#&版网

6．提示：f（x）=1－sin2x+sinx =－（sinx－125π）+，当x=－时，f(x)取最小值

2447．D

提示：f(x)sin(2x)3cos(2x)2sin(2x可得

8．C

提示：根据0AB3)令3k2,得0A2B2，所以sinAsin(B)cosB2[www~.#zzst&*e%p.com]

9．D 提示：由性质(1)和(2)可排除

A和C ,再求出ysin(2x6)的增区间即可

10．D

提示：将函数ycosx的图象按a平移可得原图象的函数解析式11．B 提示：∵y=sin（2x－=cos［2（x－中国教育出*&版@网~]πππ2π2π）=cos［－（2x－）］=cos（－2x）=cos（2x－）62633ππ）］，∴

将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度

332ππ2π12π+）=4π=，∴

ω=.又当x=时，y=1，

233312．C 提示：由图象知，T=4（sin（12ππππ×+）=1，+=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=.

2332613．f(x)11sin(2x)3cos2x3

22214．k(kZ)

；k15．y3sin(x2(kZ)

4)

ππ）=k，在同一坐标系内作函数y1=2sin（x+）4416解：原方程sinx+cosx=k2sin（x+与y2=k的图象.对于y=2sin（x+π），令x=0，得y=1. 4

y21∴当k∈［1，2］时，观察知两曲线-4在［0，π］上有两交点，方程有两解

17．解：易知：A = 2，半周期yk=O34

T123，∴T = 6，即6，从而：. 23设：y2sin(x)，令x = 0，有2sin1. 131，∴. ∴所求函数解析式为y2sin(x)

236622,得，f(x)AsinxBcosx. 18．解：（1）由T又：||AsinBcos2,33由题意可得



解得

A2B22.A3,

B1.f(x)3sinxcosx2sin(x). 61（2）令xk,kZ，所以xk,kZ. 623211235965kk由

得

，

k5. 4341212所以在［212316，］上只有f（x）的一条对称轴x=

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