习题训练课堂实录

矩形背景下的折叠问题探究一

授课时间

课型

2019 专题课

授课教师

课时

刘慧

1课时

北京朝阳外国语学校

授课班级：初二3.4.7.10B

一、教学分析

综观近几年各地的中考试题，矩形的折叠问题已成为一个热点，折叠问题正是利用变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力；注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，这对于学生识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。实质上，折叠问题是一个轴对称问题，它具有一些特殊的性质，如折叠前后的图形全等，从而对应的线段相等，对应角相等．因此，此类问题常可利用方程的模式来解决．这类问题的解题关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。这类问题的解题思路：抓住折叠后与折叠前的图形是以折痕为轴的对称图形这一关键，再需注意轴对称的性质的应用 ,同时结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理的性质及方程思想来求解。

二、学情分析

学生经过了轴对称、平行四边形全章学***行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等相关知识，具备初步的观察、操作、探究等活动经验，在此前的学习过程中，对折叠的问题也有了一定的认识和感受。此类问题的解决对学生的思维能力要求较高，学生普遍感到有些困难。授课班级为B层的学生，学生的学习能力一般，从学生个体来讲，班级学生在数学学分析和解决问题的水平上有比较大的差别。

三、教学目标

1. 能辨认矩形折叠过程中变与不变的量，会结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理的性质建立方程解题。

2. 在探究和学习中体会用运动的观点观察、解决数学问题的思想方法，感受方程思想在解矩形的折叠问题的运用。

3. 经历操作、证明与计算等过程, 感受证明的必要性，培养严谨的科学态度及合作精神。

教学

重点

教学

难点

抓住矩形的折叠过程中变与不变的量,会结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理的性质建立方程解题。

感受方程思想在解矩形折叠问题中的运用

1

教学过程

教学环节

活动一

折纸活动引入矩形折叠问题

师生共同总结折叠的本质：

折叠过程就是轴对称变换.折痕所在直线就是对称轴(折痕垂直平分对应点连线段)；

折起部分在折叠前和折叠后是全等形.

教师总结：前面我们学习了勾股定理和四边形的相关知识，今天我们尝试利用上述知识解决矩形纸片折叠问题.

教学活动

问题1：马上我们红五月歌唱比赛了，需要用一些正方形纸做道具，但是我们手头只有矩形纸片，怎么能够快速得到正方形呢？

学生活动

学生可以利用手中的矩形纸片，动手折叠作为参考，用彩笔画出折痕、相等的边、相等的角. 并用简单的推理语言说明所得的图形是正方形.

学生通过动手操作，观察折叠的过程，思考折叠过程中所蕴含的数学知识，尝试说明折叠的数学本质。

设计意图

从学生熟悉的折纸引入，真实感受其中蕴含的数学原理，激发学习兴趣.

从学生的折纸作品中总结折叠的数学本质，使学生在丰富的感性认识的基础上上升到理想认识。

活动二

在运动变化中归纳特殊位置探究

问题2：在矩形纸片ABCD中，折痕固定过矩形的一个顶点B，另一点P为CD边上一个动点，将BCP沿着BP折叠。

教师引导：观看几何画板，观察随着点P学生独立思考，发现折叠问题需要从特殊位置出发研究。

的变化，折叠的位置也在发生变化，要观看动态演示，一节课研究完，有些困难。我们先从特归纳矩形的折叠殊的位置开始研究。你觉得哪些位置比问题，大致考虑较特殊呢？

三种情况下的特殊位置，最后删选出值得研究的四种情况：

（1）将一边折到对角线上；

（2）将一个顶点折到一边上；

（3）将一边沿对

角线折叠；

落点位置特殊，或是折痕比较特殊。

（1）动手折一折，折出三种特殊位置。

学生讨论画图的（2）画一画，画出折叠之后的图形

方法，分享作图思考1：哪个图形最好画？

方法。

2

通过对这三种情况的考虑，培养学生知识的归纳能力。

培养学生作图的能力

思考2：画图，关键要确定什么？

总结：确定折落点，确定折痕。

（3）算一算，根据要求计算。

如图

已知，AB3，BC4，点C落在BD边上，落点记为C，求DP长？

教师引导学生解决，在解决的过程中，教师强调：

（1）折叠前后的对应边（角）相等；

（2）折痕是对应

点所连线段的垂直平分线，也是思考1：怎么求线段长？

角平分线。

小结：主要运用了全等，勾股定理，方（3）利用方程思程思想解决了问题。

想解决问题.

如图，已知，AB3，BC4，点C

落在BD边上，落点记为C，求DP长？

在图中通过标识相等的角，使学生能发现平行线

+角分线出的等

腰三角形. 如图，当点P与点D重合时，落点记

为C，BC与AD交于点E，并求

学生独立思考完BED的面积。

成

学生们独立思考解决问题，交流讨论，分享思路。

通过折纸和作图的过程，让学生感受矩形折叠引起的图形的变化，引导学生用运动变化的观点来研究问题，在运动变化的过程中找不变的量。

引导学生探究发现折叠问题中构造方程的方法：（把条件集中到一个Rt△中，根据勾股定理得方程。）

探索解决问题的方法，体会方程思想在解题中的应用.培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究方法，培养学生思维的深刻性。

进一步挖掘图中的隐含条件，得到等腰三角形，培养学生运用所学知识解决问题的能力.

探索解决问题的方法，体会方程思想在解题中的应用.培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究方法，培养学生思维的深刻性。

小组合作交流，激发学生学习的活动三

问题3：如图，矩形AB2,AD4中,再探折叠问题(备将矩形ABCD折叠，使点C落在点A用活动)

处，点D落在点G处，求折痕EF的长

有时间让学生们独立思考，小组讨论交

3

小组合作交流，激发学生学习的主动性，给他们提供施展才华的机会和舞台。

流。

思考：连接DF，四边形EBFD是什么特殊图形?

主动性，给他们提供施展才华的机会和舞台。

总结

课堂小结：

1. 这节课你有什么收获呢？

2. 这节课起到关键作用的定理是什么？勾股定理的作用是什么？

学生思考本节课学到的知识，掌握的方法以及体会到的数学思想

通过小结学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

调动学生学习的兴趣。

通过类比的思想，解决正方形的折叠问题，培养学生对于数学问题的探究意识。

课后作业

1.尝试利用矩形纸片折出特殊角15，30，45，60。

2.对于正方形你能类似地研究一个折叠问题。

让学生仿照前面图形研究的方法，类比研究正方形的折叠问题，寻找有价值的问题进一步思考.

矩形折叠问题

解决问题的关键：轴对称 全等 边、角等

板书设计

等腰三角形 矩形 平行 直角三角形 方程、勾股

+

角分线

4

矩形背景下的折叠问题探究一

姓名：___________

班级_____________

【活动一：引入】

马上我们红五月歌唱比赛了，需要用一些正方形纸做道具，但是我们手头只有矩形纸片，怎么能够快速得到正方形呢？

【活动二：探究特殊位置的矩形折叠问题】

折叠矩形纸，折痕千万条；从何研究起？特殊位置瞧。

问题2：在矩形纸片ABCD中，折痕固定过矩形的一个顶点B，另一点P为CD边上一个动点，将BCP沿着BP折叠。

（1）折一折，用手中的学具折出特殊折叠位置的图形。

（2）画一画，画出折叠之后的图形。

  

（3）算一算，根据要求计算。

如图

已知，AB3，BC4，点C落在BD边上，落点记为C，求DP长？

5

如图，已知，AB3，BC4，点C落在BD边上，落点记为C，求DP长？



如图，当点P与点D重合时，落点记为C，BC与AD交于点E，并求BED的面积。



【活动三：再探矩形折叠问题】

问题3：如图，矩形AB2,AD4中,将矩形ABCD折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，求折痕EF的长？

思考：连接DF，四边形EBFD是什么特殊图形? 【总结】

1. 从知识、方法、思想角度谈谈本节课的收获？

2. 折叠的作用，矩形的作用，勾股定理的作用是什么？

【课后作业】

1.

尝试利用矩形纸片折出特殊角15，30，45，60。

2.

对于正方形你能类似地研究一个折叠问题。

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