2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀获奖教案

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、

复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量

的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ

|=|λ|| |；

（2）λ>0时λ

与

方向相同；λ<0时λ

与

方向相反；λ=0时λ

=

2．运算定律

结合律：λ(μ

)=(λμ)

；分配律：(λ+μ) =λ

+μ

，

λ( + )=λ

+λ

3. 向量共线定理

向量

与非零向量

共线则：有且只有一个非零实数λ，使

=λ

. 二、讲解新课：

1．思考：（1）给定平面内两个向量

，

，请你作出向量3 +2 ，

-2 ，

（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1 +λ2 的向量表示？

平面向量基本定理：如果

，

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数λ1，λ2使

=λ1 +λ2 . 2．探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被

，

，

唯一确定的数量

3．讲解范例：

例1 已知向量

，

求作向量

例2

本题实质是

4．练习1：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量a ＝

e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ

）

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．

(填共线或不共线).

5．向量的夹角:已知两个非零向量

、

，作

，

，则∠AOB＝

，叫向量

、

的夹角，当

=0°，

、

同向，当

=180°，

、

反向，当

=90°，

与

垂直，记作

⊥

。

6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与

轴、

轴方向相同的两个单位向量

、

作为基底.任作一个向量

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数

、

，使得

…………○1 我们把

叫做向量

的（直角）坐标，记作

…………○2

其中

叫做

在

轴上的坐标，

叫做

在

轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与

相等的向量的坐标也为

.

特别地，

，

，

. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作

，则点

的位置由

唯一确定. 设

，则向量

的坐标

就是点

的坐标；反过来，点

的坐标

也就是向量

的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 7．讲解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．课堂练习：P100面第3题。

三、小结：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：《习案》作业二十一