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第七节函数的图象

1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．

2．掌握图象的作法：描点法和图象变换．

3．会运用函数的图象理解和研究函数的性质．

利用基本函数的图象作图

1．平移变换

(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．

(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．

2．对称变换

(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以____为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．

(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于____的对称性，作出x<0时的图象．

3．伸缩变换

(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为__________，________不变而得到．

(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为__________，________不变而得到．

答案

1．(1)左

右

a个

(2)上

下

b个

2．(1)y轴

(2)x轴

(3)原点

(4)x轴

(5)y轴

13．(1)原来的A倍

横坐标

(2)原来的a倍

纵坐标

2．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是(

)

答案：D

3．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位长度后，所得图象的函数解析式为________．

解析：f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的是y＝[2(x＋1)＋1]2＝(2x＋3)2的图象．

答案：y＝(2x＋3)2

4．把函数f(x)＝lnx图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的函数解析式是________．

1解析：根据伸缩变换方法可得新函数的解析式为y＝ln2x. 1答案：y＝ln2x 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

解析：在同一直角坐标系中，画出函数y＝|x|和函数y＝－x＋a的图象，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a－x只有一个解．

答案：(0，＋∞)

热点一

作函数的图象

【例1】

作出下列函数的图象：

(1)y＝elnx；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝a|x|(0

2x－1(4)y＝. x－1【解】

(1)因为函数的定义域为{x|x>0}，且y＝elnx＝x(x>0)，

所以其图象如图(1)所示．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示．

(3)因为y＝1x，x<0axa，x≥0，

(0

1所以只需作出0

11(4)因为y＝2＋，所以函数图象可由y＝x的图象向右平移1x－1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示. 【总结反思】

画函数图象的一般方法

(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

作出下列函数的图象：

2－x(1)y＝；

x＋11(2)y＝2|x＋1|；

(3)y＝|log2x－1|. 2－x3解：(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．y＝＝－1＋，

x＋1x＋13因此由y＝x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单2－x位长度即可得到函数y＝的图象，如图(1)所示．

x＋1

1x(2)先作出y＝2，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对1|x＋1|称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝2的图象，如图(2)所示．

(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y＝

|log2x－1|的图象，如图(3)所示．

热点二

函数图象的识别

【例2】

(2016·新课标全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(

)

解析：特殊值验证法，取x＝2，则y＝2×4－e2≈8－2.7182≈0.6∈(0,1)，排除A、B；

当0

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

(1)函数f(x)＝lnx－1x的图象是(

)

(2)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象(

) A．y＝2x－x2－1 ．y＝2xBsinx4x＋1

C．y＝(x2－2x)ex

D．y＝xlnx

解析：因为x－1x>0，

解得x>1或－1

所以函数f(x)＝ln1x－x的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)．

所以选项A，C不正确．

1当x∈(－1,0)时，g(x)＝x－x是增函数，因为y＝lnx是增函数，1所以函数f(x)＝lnx－x是增函数．所以D不正确，B正确．

(2)A中，∵y＝2x－x2－1＝2x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，∵y＝sinx2xsinx是周期函数，∴函数y＝的图象是在x轴附近的波浪线，∴B中4x＋1x的函数不符合；D中，y＝lnx的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C. 答案：(1)B

(2)C 热点三

函数图象的应用

考向1

利用图象研究函数性质

【例3】

已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【解析】

将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝2x－2x，x≥0，画出函数f(x)的图象，如图，

2－x－2x，x<0，

观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．

【答案】

C 考向2

利用图象研究方程的根

|lgx|，x>0，【例4】

已知f(x)＝|x|则函数y＝2f

2(x)－3f(x)＋12，x≤0，

的零点个数是________．

1【解析】

方程2f

(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝2或1. 2作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.

【答案】

5 考向3

利用图象解不等式

【例5】

函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的fx图象如图所示，那么不等式cosx<0的解集为____.

π0，【解析】

在2上y＝cosx>0，

π在2，4上y＝cosx<0. πfx由f(x)的图象知在1，2上cosx<0，

因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，

ππfxfx所以y＝cosx为偶函数，所以cosx<0的解集为－2，－1∪1，2. ππ【答案】

－2，－1∪1，2

考向4

利用图象求参数取值范围

【例6】

(2016·山东卷)已知函数f(x)＝

|x|，x≤m，2其中m>0.若存在实数b，使得关于x的x－2mx＋4m，x>m，

方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

|x|，x≤m，【解析】

f(x)＝2当x>m时，f(x)＝x2－x－2mx＋4m，x>m，

2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函m>0，数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．①当即24m－m≥m，

0

24m－m0，

即m>3时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m2

【答案】

(3，＋∞) 【总结反思】

(1)研究函数性质：

①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．

(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

(1)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 －x2－1，x≤0，(2)函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝

fx－1，x>0，

若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围是________．

解析：

(1)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．

(2)当x≤0时，f(x)＝2－x－1，

当0

f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1. 当1

f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝2－(x－2)－1. 故x>0时，f(x)是周期函数，如图，

欲使方程f(x)＝x＋a有两解，即函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，则a的取值范围是(－∞，1)．

答案：(1)C

(2)(－∞，1)

1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：

(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；

(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；

(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．

2．合理处理识图题与用图题

(1)识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

(2)用图

要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即

一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围)．

“形似神异”的图象变换规律

在函数图象变换中，与对数函数图象相关的变换，有许多结构形式类似，稍不注意，就会出现差错．常用的几个变换如下：

(1)y＝logax→y＝|loga(x－m)|＋n(其中m>0，n>0)：

把x轴下方的图象翻折上去y＝logax――――――――――――――――――――→

图象向右平移m个单位长度y＝|logax|――――――――――――――――――――→

图象向上平移n个单位长度y＝|loga(x－m)|――――――――――――――――――――→

y＝|loga(x－m)|＋n；

(2)y＝logax→y＝loga|x－m|＋n：

去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称y＝logax――――――――――――――――――――→

图象向右平移m个单位长度y＝loga|x|――――――――――――――――――――→

图象向上平移n个单位长度y＝loga|x－m|――――――――――――――――――――→

y＝loga|x－m|＋n；

(3)y＝logax→y＝loga(|x－m|＋n)：

y＝logax图象向左平移n个单位长度,y＝loga(x＋n) 去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称――――――――――――――――――――→

图象向右平移m个单位长度y＝loga(|x|＋n)――――――――――――――――――――→

y＝loga(|x－m|＋n)；

(4)y＝logax→y＝|loga|x－m||：

把x轴下方的图象翻折上去y＝logax――――――――――――――――――――→

去掉左侧图象，作y轴右侧的对称图象y＝|logax|――――――――――――――――――――→

图象向右平移m个单位长度y＝|loga|x||――――――――――――――――――――→

y＝|loga|x－m||. 【例】

对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的有________个．

A．1

C．3

B．2 D．0

【解析】

函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，

函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；

图象向左平移1个单位长度因为y＝lgx――――――――――――――→

去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称y＝lg(x＋1)――――――――――――――→

图象向右平移2个单位长度y＝lg(|x|＋1)――――――――――――――→

y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0. 【答案】

B