探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学内容概述

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

教学设计

一、教学目标 知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。 能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。 情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。 二、教材分析

本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第二课时。正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。 三、教学重难点

教学重点：

正弦函数、余弦函数的单调性、最值。 教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。

四、教学过程

复习引入：

（1）单调性：

正弦曲线

下面是正弦函数ysinx(xR)图象的一部分：y023456x中国教育出~&版网

1-6-5-4-3-2--1fx = sinxysinx(xR)在[

22k,22k](kZ)上单调增，函数值从-1增加到1，在[

22k,32k](kZ)上单调减，函数值从1减小到-1. 21

余弦曲线 ycosx(xR)

y023456x1-6-5-4-3-2--1fx = cosxycosx(xR)在[2k,2k](kZ)上单调增，函数值从-1增加到1，在[2k,2k](kZ)上单调减，函数值从1减小到-1. （2）最值：

1-6-5-4-3-2--1y023456x

fx = sinx正弦函数ysinx,xR

①当且仅当x

22k,kZ时,取得最大值1

②当且仅当x22k,kZ时,取得最小值1

1y023456x-6-5-4-3-2--1fx = cosx余弦函数ycosx,xR

①当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1

②当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1

应用一：利用单调性比大小

例1不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin(18)与sin(10)；（2）cos(2217)与cos()； 54分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）。如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一2

单调区间后再作判断。如不同名，要先化成同名函数。

解：（师生共同完成，注意书写规范）

（1） 021018ysinx在,上是增函数 22sin(∴

18)sin(10).（2）略 方法总结：

比较同名三角函数值的大小，一般先运用诱导公式把角化在同一个单调区间上，利用三角函数单调性来比较大小。

应用二：求三角函数的单调区间

例2：求函数y=sin(x+)的单调递增区间. 1233［+2kπ,+2kπ］. 221由-+2kπ≤x+≤+2kπ,

22325得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z. 3312解:令t=x+.函数y=sint的单调递增区间是

所以所求单调增区间为：

k[4

5,4k],(kZ)33变式1：求函数y=sin(x+)x[2,2]的单调递增区间.

变式2:求函数

y=sin(—x+)的单调递增区间.

方法总结：

求三角函数的单调区间，应把三角函数符号后的角看成一个整体，注意有时需要用诱导公式把x的系数化为正数，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性。

3

123123

应用三：正、余弦函数的最值问题

例3.以下函数有最大、最小值吗？如果有，求出最大值、最小值，并写出取最大、最小值时的自变量

x 的集合.

1y3sin2x(xR)（）解：令t2x，函数ysint

ymax3(1)3此时

2xt2k，得：x24k.{x|xk,kZ}4{x|xk,kZ}4因此 ymax3此时x的取值集合是

ymin3此时x的取值集合是

同理 方法总结：

yabsinx或yabcosx类型的函数求最值时，主要是利用三角函 对形如 数的图象求解，在解题时注意函数的定义域。

课堂练习：

1.比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1)sin250____sin260

(2)cosy3sin(2x),x0,的单调递减区间. 2.求函数 4

课堂小结：

1.知识

1514____cos891.正、余弦函数的单调性2.正、余弦函数的最值2.思想方法：数形结合、化归的思想、整体思想。

五、课后作业：

1.教材第46页

习题1.4 A组 2 ~ 5 2.《红对勾》1.4.1、1.4.2剩余题目

4

六、教学反思：

本节课始终是通过观察正弦函数、余弦函数的图像，从图像的特征获得它们的性质，反过来根据性质进一步认识三角函数的图像，充分体现了数形结合的思想方法，由形到数，再由数到形，这样设计通俗易学，容易被学生接受。存在的问题是由于知识点较多，基础知识生成所用的时间较长，练习较少，课后应加强基础知识的应用。

根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。我做到了关注学生的表达，表现，学生的情感需求，但由于教师本人没有完全放开，课堂气氛不及平时课堂教学，学生的积极性没有完全被调动起来，例题的选择是根据我以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。每一个问题我在传授新知识的时候都做了铺垫，我准备的很精心很充分，我尽力了！谢谢学校给予我这样一个锻炼的机会，也谢谢科组老师们对我的帮助。

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