复习参考题第二课时教学设计

第

1 页

共

7 页

课时跟踪检测（六十四）

古典概型

一、专练高考真题

1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

) 3A.

101C.

101B.

51D.

20解析：选C

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，1所以概率为.故选C. 102．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(

) A．0.4

C．0.8

B．0.6 D．1 解析：选B

记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝6＝0.6. 103．(2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(

) 1A.

181C.

61B.

91D.

12解析：选B

掷两颗骰子的所有基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的基本事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，41所以所求概率为＝. 3694．(2013·全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)

第

2 页

共

7 页

1A.

21C.

41B.

31D.

6解析：选B

从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，21(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝. 635．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，31白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝. 931答案：

36．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．

93因此，事件A发生的概率P(A)＝＝. 1557．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．

第

3 页

共

7 页

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．

解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；

受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为1. 10二、专练名校模拟

1．(2016·浙江金丽衢十二校二联)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(

) 1A.

22C.

31B.

33D.

4解析：选B

因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片1上的数字之和为偶数的概率为. 32．(2016·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为(

) 1A.

21C.

41B.

31D.

5解析：选A

已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，

第

4 页

共

7 页

31女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝. 623．(2016·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向π0，的概率为(

) 量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈45A.

181C.

25B.

127D.

12解析：选B

法一：依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，π0，，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈4第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；π0，第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈4的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为155＝. 3612法二：依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量36－6π150，，即n＜m的向量a＝(m，n)有b＝(1,0)的夹角α∈＝15(个)，所以所求概率为42365＝. 124．(2016·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(

) 1A.

31C.

25B.

127

D.

12解析：选A

设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，41A2B1，A2B2 4种情况，则发生的概率为P＝＝，故选A. 123x2y25．(2016·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线2－2＝1ab的离心率e>5的概率是________．

解析：由e＝b21＋2>5，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，ba＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴

第

5 页

共

7 页

61所求事件的概率P＝＝. 3661答案：

66．(2015·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．

解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．

设“A1和B1不全被选中”为事件N，

则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，

由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，

所以P(N)＝21＝，

12615由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝. 665答案：

67．(2016·西安联考)依次从标号为1,2,3,4,5的五个黑球和标号为6,7,8,9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为x，y”．

(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；

(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．

解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，共20个．

(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A，则事件A包含：(1,8)，(1,9)，(2,7)，(2,8)，(3,6)，(3,7)，(4,6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B，731则事件B包含：(4,9)，(5,8)，(5,9)，共3个．故P(A)＋P(B)＝＋＝，故抽取的标号之202021和小于11但不小于9或大于12的概率为. 28．(2016·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数

第

6 页

共

7 页

字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，

则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，

所以P(A)＝31＝，

2791因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. 9(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，

则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(B)＝1－8此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 938＝，因279三、专练思维规范

1．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．

A313解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝24＝，即C5A4401甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是. 404A41(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝24＝，所以甲、C5A4109乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝. 103C215A3(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝24＝，所以仅有一人参加A岗位服务的C5A443概率P1＝1－P2＝. 42．(2015·绵阳诊断)据《中国新闻网》报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长

第

7 页

共

7 页

在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

态度

调查人群

在校学生

社会人士

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

(2)已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率．

解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴120＋x＝0.05，解得x＝60，

3 600应该取消

2 100人

600人

应该保留

120人

x人

无所谓

y人

z人

∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720，

360∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×＝72人．

3 600(2)y＋z＝720，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有：

(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种．

记本次调查“失效”为事件A，

若调查失效，则2 100＋120＋y<3 600×0.8，解得y<660. ∴事件A包含：(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种．

31∴P(A)＝＝. 93