2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

课题：平面向量线性运算的坐标表示

教学目标：理解并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；掌握平面向量的线性运算的坐标表示；明确一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标这一规律；渗透数形结合的思想和辩证唯物主义观点的教育．

教学重点：平面向量线性运算的坐标表示．

教学难点：平面向量线性运算的坐标表示．

教学方法：探究与研讨．

教学用具：多媒体．

教学程序：探讨正交分解下向量的坐标表示→探讨平面向量线性运算的坐标表示→知识的应用→归纳小结与课堂巩固

教学设计：

一、创设情境引入课题

复***面向量的基本定理．并指出平面内任意两个不共线的向量都可以作为平面向量的一个基底．因此基底的选择并不是唯一的，其中我们最感兴趣的是互相垂直的两个向量所构成的基底——正交基底．其中又以单位正交基底为最有用处．

二、探究研讨深化课题

1、平面向量的坐标的概念

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j作为基底．

对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj．

这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序实数对x,y叫做向量a的坐标，记作ax,y，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，ax,y叫做向量的坐标表示．

说明：①必须明确：ax,y只是axiyj的一个记法而已，坐标表示的实质应该是线性表示．至此，向量就有了几何、字母和坐标三种表示方法．②由于i1i0j，j0i1j，00i0j，所以i1,0，j0,1，00,0．③把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2、平面向量线性运算的坐标表示

已知ax1,y1，bx2,y2，求向量ab、ab和a的坐标．

ax1,y1ax1iy1j解：abx1iy1jx2iy2j

bx2,y2bx2iy2j

abx1x2iy1y2jabx1x2,y1y2．

同理可得abx1x2,y1y2，ax1,y1．

这就是说，两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和；两个向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

3、平面向量的坐标的求法

(1)以坐标原点为起点的向量的坐标的求法

以坐标原点为起点的向量的坐标等于表示此向量的有向量线段的终点的坐标．

(2)以坐标平面上的任意点为起点的向量的坐标的求法

一个向量的坐标等于表示此向量的有向量线段的终点的坐标减去起点的坐标．

(3)相等的向量的坐标相同．

设ax,y，bs,t，且ab，则xs，yt．

解：

ax,yaxiyjbs,tbsitjxiyjsitj，

ab又i、j不共线，所以xs，yt．

三、联系实际应用课题

1、课本第97页例4 已知a2,1，求向量ab、ab和3a4bb3,4，的坐标．

2、课本第97页例5 已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是2,1、1,3、3,4，求顶点D的坐标．

四、综合归纳小结课题

1、知识要点：平面向量的坐标的概念，平面向量线性运算的坐标表示，平面向量的坐标的求法．

2、思想方法：数形结合的数学思想．

五、练习反馈巩固课题

1、课堂练习：课本第100页练习1、2、3．

2、课外作业：课本第101页习题A1、2、3、4．

教学后记：

向量的线性运算的坐标表示是学习的重点，学生学习探究起来并不困难．教学中主要是引导学生正确理解向量的线性运算之所以可用坐标进行，其实质还是向量在进行运算，坐标仅仅是一种记法而已．