探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计实例

正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）

教学目标

1.知识与技能：

（1）了解周期函数与周期的概念.

（2）知道正弦函数及余弦函数是周期函数，并能说出y=sinx，，y=cosx，

的周期和最小正周期.

（3）归纳出函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R和y=Acos(ωx+φ)，x∈R (其中 A、ω、φ为常数且A≠0，ω>0)的周期,且能用它直接写出函数的周期. 2.过程与方法：渗透数形结合思想，与学生一起体会从感性到理性、从特殊到

一般的思维过程，提升学生探究问题的能力. 教学重点、难点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数周期性的理解与应用

【教学过程】

一、复习回顾

同学们，前面我们已经学习了一类新的函数----三角函数，并重点的研究了正弦函数以及余弦函数的图象。下面，请同学们利用五点作图法画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象.

提出问题：当x∈R时，函数y=sinx的图象又是如何画出呢？请同学们画出图象并观察其特征。

观察图象：（1）定义域为R，所以正弦函数的图象向左右两边无限延伸；（横看）

（2）从图象的最高点和最低点的纵坐标发现的值域为[-1，1]；（纵看） （3）正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

提出问题：为什么会有如此的规律呢？其理论依据是什么呢？

这个规律由诱导公式sin(2kπ+x)=sinx可以说明正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得当x增加2kπ（k∈Z）时，令f(x)=sinx,总会有式子f(x+2kπ)=sin(x+2kπ)=sinx=f(x)成立．也就是说：当自变量x增加2kπ时，正弦函数的值又重复出现；

二、新课讲授

世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.还有星期几的问题，物理中的单摆，时钟、手表，过山车...... 以上的这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.

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这也是我们第一次接触的函数的性质之一。

定义：对于函数f(x),若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称函数f(x)为周期函数；非零常数 T叫做这个函数的周期．

问题：对于函数ysinx，xR有sin0sinsin2，能否说是它的周期？要说明不是，只要有一个反例即可，例如sin(2)sin2；

注意点：1、要求对于定义域中的每一个值x，均有f(x+T)=f(x)。

2、周期函数的周期不止一个，如 2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,…

都是正弦函数的周期。所以正弦函数的周期有无数多个且为2kπ（K为非零整数）,当然余弦函数也一样。

定义：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期。从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；

强调：本书中涉及到的周期，如果不加特别说明一般都是指函数的最小正周期。

例题讲解：例1：求下列函数的周期

（1）y3cosx

，xR

（2）ysin2x，xR．（3）y2sin(1x)

，xR

26小结：利用周期函数的定义求周期时应注意是对x而言，即f(x?)f(x)

课堂练习：课本P40页练习

提出问题：函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R和y=Acos(ωx+φ)，x∈R (其中 A、ω、φ为常数且A≠0，ω>0)的周期如何求呢？

yAsin(x) Asin(x)Asin(x2)

yAsin(xT)

总结：一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR（其中A,,

为常数，且A0，0）的周期T课堂小结：

本节课我们学习了以下内容：周期函数的定义、周期、最小正周期、定义法求函数的周期以及函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期。

课后作业：习题1.4 P46 A组 3、10

2 2；