小结教学设计一等奖

几何概型复习

一、本课数学内容的本质、地位、作用分析：

前面已经复习过了第二章统计和第三章概率的前两节内容，概率是研究随机现象规律的学科，它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然。

“几何概型”这一节就是新增加的内容，是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，同时也更广泛地满足了随机模拟的需要。

几何概型的关键是建立合理的几何模型解决相关概率问题，通过建立基本事件与相应元素的对应，达到求解相关概率问题的目的，体现了数形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美结合。

本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个纬度目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。

二、教学目标分析：

根据上述教材分析，结合学生已有的认知结构，我确定本节课的三维教学目标如下：

（1）知识与技能：

了解几何概型的两个特点；能识别实际问题中的概率模型是否为几何概型；会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。

（2）过程与方法：

学生经历概念产生与发展的过程，体验数学发现与创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力，渗透化归、数形结合等思想方法，提高学生的数学素养。

（3）情感、态度与价值观：

本节课选材取例大多来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，把丰富的生活感知与数学理性有机融合起来，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。

三、教学重难点分析：

几何概型概念中的核心是它的两个特征：

（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。

（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。

尤其是特征（2），学生如果理解不到位，很容易在做题中出现错误，所以我确立教学的重点为：理解几何概型的定义，会用公式计算概率；

1

难点为：

1、等可能性的判断，对几何概型中基本事件的构成分析

2、将实际问题转化为几何概型

四、学情教法分析：

简单介绍概念，而后大量利用练习巩固概念，

对于高三的学生，知识经验已较为丰富，具备了较强的自主探究能力和概括归纳能力，所以本节课在教学方法上通过让学生亲历、观察蕴含在生活当中的问题，从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义，让学生在动手操作中，经历概念数学化的过程，让学生在感性活动基础上，浓墨重彩的勾画概念的建构过程，激发思维从困惑、迷茫直至清晰、透彻，从而让学生的思维从感性上升到理性。

五、

教学过程

（一）知识回顾：

1.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2.概率公式

在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：

想一想：几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？

思考：古典概型与几何概型的异同点

3.几何概型概率的适用情况和计算步骤

(1)适用情况：

几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．

(2)计算步骤：

①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．

②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．

③利用概率公式计算．

2

特别提示：

在使用几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A时，公式中分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样，一个若是体积，另一个也必然是体积．

（二）题型探究：

题型一

与长度有关的几何概型

例1 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

师生共同探讨，PPT呈现解析

反思与感悟：在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率. 跟踪训练1

某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(

) 1123A.3

B.2

C.3

D.4

学生口述回答

题型二

与面积有关的几何概型

例2射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

明确这是一个与面积有关的几何概型，套用公式，计算即可，PPT呈现解析

反思与感悟：

解此类几何概型问题的关键：

(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题. (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率. 跟踪训练2

一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 学生口述回答，1分钟计算

3

题型三

与体积的几何概型 例3 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率. 2先让学生思考，抽取一名学生回答解题思路，并上台计算、板演，随后教师纠正错误，并展示解题过程。

反思与感悟：如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积. 跟踪训练3

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率. 学生口述事件所包含的区域。

思维辨析：

如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=1,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率.

先让学生独立完成，然后抽取两名分别用长度和角度解题的学生，让他们展示解题过程，发现答案不一样。随后让学生思考哪种方法错误、问题出在哪里。随后带领学生一起分析问题，总结结论：

当涉及射线的运动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段. （三）当堂检测：

1.在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是(

) 1127A. B. C. D.

32392.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为(

) 7A.

8531

B.

C.

D.

642

3.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1，则阴影区域的面积是(

)

3

4

A.1

B.233

C.43

D.无法计算

抽取学生分别口述解题思路及过程。

（四）课堂小结：

1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。5