成正比例的量第二课时教案

第四课时正比例的意义

中原区帝湖小学万森

一、学习目标

(一)学习内容

《义务教育教科书数学》(人教版)六年级下册第四单元第45页、46页的全部内容,学生通过观察、计算、讨论,不断探究彩带的总价与数量的关系,逐步发现其中的规律,理解正比例的意义。

(二)核心能力

在探究正比例意义及认识正比例关系图象的过程中,经历观察、计算、归纳的数学活动,从中体会函数思想,初步建立模型思想。

(三)学习目标

1.通过经历观察、计算、归纳的数学活动,抽象归纳出正比例的意义,体会函数思想。

2.结合现实生活中熟悉的数量关系,掌握成正比例的量的变化规律,初步建立模型思想。

3.利用旧知,能根据给出的正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图象,初始正比例关系的图象,根据图象解决一些简单的实际问题,体会利用数形结合的方法解决问题的直观与便捷性。

(四)学习重点

理解正比例的意义,应用正比例的意义判断两个量能否构成正比例关系(五)学习难点

根据图象解决一些简单的实际问题

(六)配套资源

实施资源:《正比例的意义》名师教学课件

二、学习设计

(一)课前设计

1.复习任务

(1)商店里有两种包装的袜子,一种是5双一包的,售价为25元,一种是8双一包的,售价为32元。哪种袜子更便宜?

(2)解决这个问题,用到了哪个数量关系式?

【设计意图:唤醒学生对单价、数量、总价关系式的记忆,做好知识储备。】(二)课堂设计

1.谈话导入

出示:同一种袜子,李阿姨和张阿姨各买了若干双,李阿姨花了30元钱,张阿姨花了25元,这是为什么?

学生汇报。

师:这个问题对于你们来说很简单,但如果把这个问题放到“比例”这个内容里,该怎么解释呢?带着这个问题,我们开始这节课的学习。

2.问题探究

(1)正比例的意义

①观察数量,发现关联

出示例1:文具店有一种彩带,销售的数量与总价的关系如下表。

师:观察表中的数据,你能发现什么?

学生独立思考后,自由发言。

预设:表中有两种量:数量和总价。

数量增加,总价增加;数量减少,总价减少。

数量扩大到原来的几倍,总价也随着扩大到原来的几倍;数量缩小到原来的几分之几,总价也随着缩小到原来的几分之几。

引导小结:同学们发现,表中有数量和总价这两种量,并且总价随着数量的变化而变化。像这样,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量叫做相关联的量。

②对应计算,探索规律

师:从表中我们看出,总价与数量是两种相关联的量,总价随着数量的变化而变化,那变化有什么规律吗?请大家继续探究。

小组合作后,交流汇报。

预设:数量每次增加1米,总量增加3.5元。

数量与总价的比是1:3.5

总价与数量的比值是3.5

根据学生的回答，板书：

3.5710.514====……3.51234

师：通过计算，我们发现总价与数量的比值不变，这个比值表示什么意思？ 学生自由发言。

小结：总价与数量这两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是一定的。比值3.5，实际就是彩带的单价。用式子表示它们的关系就是：

总价＝单价 （板书） 数量

③明确规律，表征关系

师：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

师：上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。 ④解释概念，字母表征

师：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系用字母怎样表示？

小结：可以表示为：y＝k（一定）（板书） x

（2）列举并讨论成正比例的量。

师：生活中还有哪些成正比例的量？

生举例，引导学生评价。

师：成正比例的量必须具备哪些条件？哪个条件是关键？

学生自由发言。

引导小结：两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种量中相对应的两个数的比值一定，这是关键。

【设计意图：通过观察表格中的数据，引导学生直观认识相关联的量，再结

合表中的数据进行计算,发现总价与数量的比值一定,从而引入并归纳出正比例的意义,通过举例,进一步理解正比例的意义,并在整个过程中,体会函数思想,初步建立模型思想。考查目标1、2】

(3)认识正比例关系图象

①正比例关系图象

师:如果把表格中每两个相对应的数看作一个数对,在方格图中怎样表示呢?

拿出作业纸,在方格纸上表示出来,并思考下面问题:

A.把这些点连起来是什么?

B.这条线段可以向两端怎样延伸?

C.怎样说明每个点相对应的两个数的比值是相等的?

学生独立画完后,同桌交流思考题目,最后全班交流。

(课件出示正比例关系图象)

引导小结:把成正比例关系的两个量,在方格之中用图象表示出来,我们称为正比例关系图象,它其实是一条从(0,0)出发无限延伸的射线,这条射线所有点所对应的两个量的比值相等。

②利用图像解决问题

师:把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来,再和上面的图象连起来并延长,你还能发现什么?

(生操作后发表自己的见解)

引导小结:这两个点与上面的图象仍然能够连成一条直线,无论怎样延长,得到的都是直线。

师:从正比例关系图象中,你知道了什么?

引导小结:可以由一个量的值直接找到对应的另一个量的值,可以直观地看到成正比例的量的变化情况。

师:我们利用它的这种特性,来解决问题。不计算,根据图象判断:

A.如果买9 m彩带,总价是多少?49元能买多少米彩带?

B.小明买的彩带的米数是小丽的2倍,他花的钱是小丽的几倍?

学生独立完成后,全班交流评价。

【设计意图:利用旧知先独立画图,把数据与点联系起来,然后通过回答相关问题,初始正比例关系图象,再经过根据图象解决问题的过程,进一步理解正比例关系图像,体会一一对应,感受数形结合的思想。考查目标3】

3.巩固练习

一辆汽车行驶的时间和路程如下表:

(1)写出几组路程与相对应的时间的比,并比较比值的大小。

(2)说一说这个比值表示什么。

(3)汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗?为什么?

(4)在图中描出表示路程和相对应的时间的点,然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶120km大约要用多少时间?

4.课堂总结

师:这节课你有什么收获?

小结:通过观察,发现彩带的总价随着数量的变化而变化,了解了什么是相关联的量,在计算、讨论中探究出彩带的总价与数量的关系,并发现其中的规律,认识了正比例的意义和正比例关系的图象,并利用图象解决一些问题。

(三)课时作业

1.填空。

如果a×b=c,那么当a一定时,()和()成正比例关系;当b一定时,()和()成正比例关系。

答案:c和b成正比例关系;c和a成正比例关系。

解析:通过用字母这种更为抽象的表述,加深对正比例意义的理解。【考查目标1】

2.下面每题中的两个量成不成正比例?请说明理由。

(1)每米铁丝的质量一定,铁丝长度和总质量。

(2)减数一定,被减数和差。

(3)修一条公路,已修的米数和剩下的米数。

(4)等边三角形的周长和边长。

答案:(1)成正比例,因为总质量除以铁丝长度等于每米铁丝的质量。(2)不成正比例关系,因为它们是差一定,不是比值一定。(3)不成正比例,因为它们是和一定,不是比值一定。(4)成正比例,因为周长除以边长等于3,3是一个定值,说明比值一定,所以成正比例关系。

解析:结合熟悉的数量关系,灵活应用概念,进一步理解成正比例的量的变化规律,初步建立模型思想。【考查目标2】