1. 圆周运动优质课一等奖

班级__________姓名___________

授课时间_______

总课时___________ 4.圆周运动及其应用(轻绳模型与轻杆模型问题) 学习目标:(1)理解两种模型的特点(2)临界状态的速度和受力特点 (3)圆周运动的力学综合应用

1.竖直平面内圆周运动的临界问题

例1.如图所示，细绳系小球在竖直面内做圆周运动，已知绳长为R，小球半径不计，质量为m.求小球在最高点速度的最小值.

·

O

思考：若将例1中细绳换成轻杆,小球经过最高点的最小值为多大?

·

O

小结: 1.轻绳 2.轻杆

最高点 vmin=_______ vmin=________

最低点

练习1.一根长为L的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0,小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ ）

A，小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大

C．小球在最低点对轻杆的作用力先增大后减小

D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心

gL

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总课时___________ 2.竖直平面圆周运动的力学综合应用

例2.如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上A处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动.若物块初始位置A相对于圆形轨道底部B点的高度h=3R,求经过最低点B和最高点C时小物块对轨道的压力.（g为重力加速度）。

m

C

A R

h

B

拓展1.若要使物块能通过圆形轨道最高点C，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg,求物块初始位置A相对于圆形轨道底部B的高度h的取值范围。

拓展2.若将拓展1.中的圆轨道换成内径很小的光滑半圆管轨道,且要使物块能通过圆管轨道最高点C，在该最高点与轨道间的压力不能超过mg/2,求物块初始位置A相对于圆形轨道底部B的高度h的取值范围。

m C

A R

h

B

小结：

练习2.某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va＝5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长L＝1.5m，数字“0”的半径R＝0.2m，小物2体质量m＝0.01kg，g＝10m/s．求： ⑴小物体从p点抛出后的水平射程．

⑵小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．

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45、（山东卷）24 . （15分）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b 点进人轨道，依次经过“8002 ”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3 ，不计其它机械能损失。已知ab段长L=1 . 5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0 .0lkg ，g=10m/s2

。求：

( l ）小物体从p 点抛出后的水平射程。

( 2 ）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。

解析：( l ）设小物体运动到p 点时的速度大小为v，对小物体由a 运动到p 过程应用动能11定理得-μmgL-2Rmg=mv2-mv02

①

22

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总课时___________ 小物体自p 点做平抛运动，设运动时间为：t，水平射程为：s则

12R=gt2

②

2s=vt

③

联立①②③式，代人数据解得

s=0.8m

④

( 2 ）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F ．取竖直向下为正方向

mv2F＋mg=

⑤

R联立①⑤式，代人数据解得

F=0.3N

⑥

方向竖直向下

11．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r=0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的

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总课时___________ 小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放（取g=10m/s）

（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？

（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。

例1. （09年安徽卷）24．（20分）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，2B、C间距与C、D间距相等，半径R12.0m、R21.4m。一个质量为m1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v012.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L16.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。

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总课时___________

解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理

-mgL12mgR11212mv1mv0 ①

22 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

2v1 Fmgm ②

R1

由①②得 F10.0N ③

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意

2v2 mgm ④

R2 mg L1L2mgR21mv221mv02 ⑤

22由④⑤得 L12.5m ⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足

2v3 mgm ⑦

R3 mgL12L2mgR3由⑥⑦⑧得 R30.4m

1212mv3mv0 ⑧

22II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

mgL12L2mgR30解得 R31.0m

为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

R2R3L2R3-R2

2212mv0

2解得 R3= 27.9m 综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

0R30.4m

或 1.0mR327.9m

当0R30.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

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总课时___________ -mgL012mv0

2 L36.0m

当1.0mR327.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

LL2LL12L26.0m

答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当0R30.4m时，

L36.0m；当1.0mR327.9m时，

L26.0m

点评：此题第一问考查了圆周运动中基本规律，第二问考查了圆周运动的临界情况，第三问考查了在圆周运动中过最高点的问题。

v222mr mmr

rT

2