阅读与思考 三角学与天文学课件配套优秀教案案例

三角函数的合成-辅助角公式

【教学目标】

1、懂得化为一个角的三角函数形式，如yAsin(x)k等，利用三角函数的有界性求解三角函数的有关最值。

2、用数形结合以及化归的思想、换元法等求三角函数的最值。

3、培养学生类比、归纳、总结、语言表达能力。

4提出问题并引导学生共同合作探究。

5

通过学生参与，培养学生严谨的科学态度、分析和解决问题的能力、数形结合思想以及互助合作精神，激励学生积极探索，勇于创新。

教学重点:

引导学生探究三角函数合成的规律

教学难点:

三角函数合成的应用

【教学模式】问题-导学-合作-探究

【教学过程】

在前段时间的学习中我们研究了三角函数的一些基本知识，如：三角函数的图像和性质、同角三角函数的关系、两角和差的三角函数、倍角公式等。这节课我们进一步来探究三角函数的最值问题，周期和单调性,三角函数的最值问题是平时考试甚至是高考命题的热点。

（一）复习回顾旧知：

1）|sinx|≤1; |cosx|≤1; 2）三角函数周期公式

3）两角和与差的正弦、余弦公式

(二)提出问题，共同探究

背景问题：自然界中，存在着大量的周期函数，两个周期函数合成后是否还是周期函数呢？

（1）特殊辅助角公式

sinθ+cosθ=)

sinθ+3cosθ=)

sinθ－3cosθ=

)- 1 -

（2）一般情况辅助角公式

2222asinθ+bcosθ=a+bsinθ+=a+bcosθ+

其中：tan=

ba,tan=

ab其中aa2b2a2b2btan,与（a,b)同象限acos,bsin,其中a22ababatan,与（b,a)同象限bsin,b22cos归纳：

y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用公式：asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ),（a,b≠0,其中tanφ=b，φ与（a，b）同象限）

a拓展引申：函数y＝asinx＋bcosx是否可以表示成y＝Acos（x－φ）的形式？若可以的话，它与上述y＝Asin（x＋θ）的表示式有何关联性？

具体应用：

探究1.求函数f (x)=3sinx+4cosx的最大值。

略解：f (x)=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，最大值为5.

感悟归纳：这个问题实质是化归为一个角的一个三角函数，用三角函数方法来解决。

探究2要使1364mcossin有意义，实数m应该满足什么条件？

225[思路]利用

y=asinx+bcosx化为一个角的一个三角函数，再利用三角函数的有界性解决。

略解：64m11113cossin=sin()=，|sin()|1，解得m

65644221cosx的值域. 2sinxy21sin(x)2y1，变式提升：求函数y略解：1cosx2yysinx，即ysinxcosx2y1，即sin(x)2y1y21，|sin(x)|1，|2y1y21|1，解得0y4

3点评：换角度，变换主元，巧妙利用三角函数有界性解决。

(三)、小组合作，自主探究，师生互动，展示成果，点评，

例、（2015安徽文）已知函数f(x)(sinxcosx)cos2x

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间0,上的最大值和最小值. 22π

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【答案】(1) π

(2)fxmax12,fxmin0.

(四)课堂练习

1.若04，sincosa，sincosb，则（ ）

（A).ab<1 (B).a>b (c).a

(D).ab>2 2.求函数y3sin(x20)5sin(x80)的最大值. 略解：1. asincos2sin(),bsincos2sin()，

4404，4442，故ab

2.方法一：f(x)3sin(x20)5sin(x80)

3(sinxcos20cosxsin20)5(sinxcos80cosxsin80)

(3cos205cos80)sinx(3sin205sin80)cosx

(3cos205cos80)2(3sin205sin80)2sin(x)

3430cos60sin(x)7sin(x)，故最大值为7 方法二：f(x)3sin(x20)5sin(x80)=3sin(x20)5sin[(x20)60]

1153sin(x20)cos(x20)7sin(x20)

22 (四)小结：

（重在培养学生归纳总结能力）

（1）两个周期函数的合成还是一个周期函数，当正弦与余弦中自变量系数相等时，合成后仍是一个正（余）弦型函数. （2）对于一次类型可利用正弦函数和余弦函数（包括asinxbcosx）的有界性求三角函

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数的最值。

（五）课后作业：

1.已知3sincos（略解：cos(223，求cos(2)的值. 331)cos2()12sin2()）

3663cosx32.求函数y的最大值和最小值.

sinx23.已知函数f (x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x

求（1）函数的单调增区间；

（2）求出函数的最大值y及相应的x的值的集合．

略解：ysin2x2sinxcosx3cos2x=1sin2x2cosx

=2sin2xcos2x=22sin(2x24)

|单调增区间：{x3kxk(kZ)}，最大值为22，取得最大值时88|xk自变量集合为{x8,kZ}

22选做题：设实数x、y满足xy4，求3x+4y的最大值.

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